3.2.5 Найпростіші диференціюючі та інтегруючі ланцюги
У радіоелектроніці часто виникає необхідність у побудові ланцюгів, сигнал на виході яких пропорційний похідній чи інтегралу від вхідного впливу.
Зазвичай ці завдання вирішуються приблизно за допомогою електричних схем за деяких умов, що накладаються на сигнал. Розглянемо схему, що складається із послідовно з'єднаних ємності та активного опору (рис. 8):
Запишемо для неї диференціальне рівняння, що зв'язує вхідну та вихідну напругу. Оскільки струм через ємність дорівнює
та відповідно до законів Кірхгофа та Ома
,
маємо наближену рівність
тобто. схема у разі приблизно виконує операцію диференціювання.
Якщо має місце протилежне нерівність, тобто.
то отримуємо наближену рівність виду
тобто. ланцюжок у разі приблизно повторює сигнал.
Умова (1) характеризує повільне зміна напруги, а умова (2) – швидке, тобто схема рис.3 добре диференціює повільні функції, погано швидкі. З виразу (1) видно, що умова краще виконується за малої величини твору CR, званої постійної часу.
Однак про швидкість зміни функції краще судити за її спектральним складом: чим вища максимальна частота спектра, тим більша швидкість зміни сигналу.
Як було показано раніше, операції диференціювання сигналу в часовій області відповідає частотній області множення спектра вхідного сигналу на величинуw w .тобто. ланцюг, що ідеально диференціює, повинен мати частотний коефіцієнт передачі виду:
деа-постійний множник з розмірністю [1/w].
Як було показано вище, частотний коефіцієнт передачі ланцюжка рис.8 дорівнює
=1/RC
отримуємо наближену рівність,відповідне ідеальному диференціатору:
,
(a=) Звідси, умова хорошого диференціювання сигналу даним ланцюжком виражається формулою (3) замість (1), тобто. для синусоїдального коливання з частотою w диференціювання здійснюється за умови, що частота його набагато менше величини 1/RC. Якщо на вході діє складний сигнал, то він буде добре диференціюватися, якщо найвища частота в спектрі вхідного сигналу набагато менше граничної частоти ланцюжка.
На рис.9 показані АЧХ та ФЧХ ідеального диференціатора та ланцюжка виду рис.8
Якщо тепер вихідну напругу знімати з ємності (тобто ), то
диференціальне рівняння матиме вигляд:
При виконанні умови (1) отримуємо
а при виконанні умови (2), отримаємо
тобто. у цьому випадку отримуємо на виході сигнал, пропорційний інтегралу від вхідного, отже, ланцюжок (рис.10) є інтегруючим. Цей ланцюжок добре інтегруватиме швидко змінюються сигнали і погано - повільні.
У цьому інтегрування виконується тим краще, що більше постійна часу ланцюга.
У частотній ділянці операція диференціювання зводиться до поділу діапазону вхідного сигналу наj w. Тобто. частотний коефіцієнт передачі ідеального інтегратора повинен мати вигляд
де b постійний коефіцієнт з розмірністю [w].
Для схеми рис.10 частотний коефіцієнт передачі дорівнює
При виконанні умови = 1/RC, отримуємо наближену рівність, що відповідає ідеальному інтегратору:
(b=) .
АЧХ та ФЧХ ідеального інтегратора та ланцюжка виду рис.10 показані на рис. 11
