4.1. Визначений інтеграл
Інтегрування в Mathcad реалізовано у вигляді обчислювального оператора. Допускається обчислювати інтеграли від скалярних функцій у межах інтегрування, які також мають бути скалярними. Незважаючи на те, що межі інтегрування повинні бути дійсними, підінтегральна функція може мати і комплексні значення, тому значення інтеграла може бути комплексним.
4.1.1. Оператор інтегрування
Інтегрування, як і диференціювання, і безліч інших математичних дій, влаштовано Mathcad за принципом "як пишеться, так і вводиться". Щоб визначити певний інтеграл, слід надрукувати його звичайну математичну форму в документі. Робиться це за допомогою панелі Математичний аналіз (Calculus) натисканням кнопки зі значком інтеграла або введенням з клавіатури клавіш + (або символу "&", що те саме). З'явиться символ інтеграла з декількома місцезаповнювачами (рис. 4.1), які потрібно ввести
Мал. 4.1. Оператор інтегрування
нижній та верхній інтервали інтегрування, підінтегральну функцію та змінну інтегрування.
Якщо межі інтегрування мають розмірність, вона повинна бути однієї й тієї ж обох меж.
Щоб отримати результат інтегрування, слід ввести символ рівності або символьної рівності. У першому випадку інтегрування буде проведено чисельним методом, у другому - у разі успіху буде знайдено точне значення інтеграла за допомогою символьного процесора Mathcad. Ці два способи ілюструє листинг 4.1. Звичайно, символьне інтегрування можливе лише для порівняно невеликого кола нескладних підінтегральних функцій.
Лістинг 4.1. Чисельне та символьне обчислення певного інтегралу
Можна обчислювати інтеграли з одним чи обоманескінченними межами (листинг 4.2). Для цього на місці відповідної межі введіть символ нескінченності, скориставшись, наприклад, тією самою панеллю Математичний аналіз (Calculus). Щоб ввести – (мінус нескінченність), додайте знак мінус до символу нескінченності, як до звичайного числа.
Лістинг 4.2. Обчислення інтеграла з нескінченними межами
1 exp x 2 dx 2
Підінтегральна функція може залежати від будь-якої кількості змінних. Саме для того, щоб вказати, якою змінною Mathcad слід обчислювати інтеграл, і потрібно вводити її ім'я у відповідне місцезаповнювач. Пам'ятайте, що для чисельного інтегрування за однією зі змінних попередньо слід задати значення інших змінних, від яких залежить підінтегральна функція і яких ви маєте намір обчислити інтеграл (листинг 4.3).
Лістинг 4.3. Інтегрування функції двох змінних за різними змінними
Оператор інтегрування може використовуватися так само, як і інші оператори: для визначення функцій, в циклах і при обчисленні ранжованих змінних. Приклад присвоєння функції користувача f(z) значення певного інтеграла і обчислення декількох її значень наведено на рис. 4.2. На цьому ж малюнку показано, як можна побудувати графік результату інтегрування.
Мал. 4.2. Використання оператора інтегрування у функції користувача
4.1.2. Про вибір алгоритму
Результат чисельного інтегрування - це не точне, а наближене значення інтеграла, визначене похибкою, яка залежить від вбудованої константи TOL. Чим вона менша, тим з найкращою точністю буде знайдено інтеграл, але й тим більше часу буде витрачено на розрахунки. За замовчуванням TOL=0.001. Для того, щоб прискорити обчислення, можнавстановити більше значення TOL.
Якщо швидкість розрахунків має вам важливе значення, наприклад, при багаторазовому обчисленні інтеграла всередині циклу, виявите обережність, вибираючи значення точності. Обов'язково експериментуйте на тестовому прикладі з характерною для ваших розрахунків підінтегральною функцією. Подивіться, як зменшення константи TOL позначається на похибки інтегрування, обчисливши інтеграл різних її значень і обравши оптимальне, з співвідношення точність/швидкість обчислень.
1. Клацніть правою кнопкою миші будь-де на лівій частині обчислюваного інтеграла.
2. У контекстному меню виберіть один із наявних чисельних алгоритмів, наприклад Метод Ромберга (Romberg) (рис. 4.3).
Зверніть увагу, що перед тим, як один з алгоритмів обраний вперше, як показано на рис. 4.3, прапорець перевірки в контекстному меню встановлено біля пункту Автовибір (AutoSelect). Це означає, що алгоритм визначається Mathcad, виходячи з аналізу меж інтегрування та особливостей підінтегральної функції. Як тільки один із алгоритмів вибраний, цей прапорець скидається, а обраний алгоритм відзначається точкою.
Мал. 4.3. Вибір алгоритму чисельного інтегрування здійснюється за допомогою контекстного меню
Розробниками Mathcad запрограмовано чотири чисельні алгоритми інтегрування:
Метод Ромберга (Romberg) - для більшості функцій, що не містять особливостей;
Адаптивний метод (Adaptive) - для функцій, що швидко змінюються на інтервалі інтегрування;
Межа в нескінченності (Infinite Limit) - для інтегралів з нескінченними межами;
Особлива кінцева точка (Singular Endpoint) – для інтегралів із сингулярністю на кінці (застосовуєтьсямодифікований алгоритм Ромберга для функцій, які не визначені на одному або обох кінцях інтервалу інтегрування).
Намагайтеся все-таки залишити вибір чисельного методу Mathcad, встановивши прапорець Автовибір (AutoSelect) у контекстному меню. Спробувати інший метод можна, наприклад, щоб порівняти результати розрахунків у специфічних випадках, коли у вас закрадаються сумніви щодо їх правильності.
Якщо підінтегральна функція " хороша " , т. е. змінюється на інтервалі інтегрування дуже швидко, немає особливостей і звертається у нескінченність, то чисельне рішення інтеграла не принесе ніяких неприємних сюрпризів.
4.1.3. Про традиційні алгоритми
Перш ніж перейти до викладу методу чисельного інтегрування, реалізованого Mathcad, скажімо кілька слів про основні принципи чисельного інтегрування. Виходячи з геометричного сенсу певного інтеграла функції f(x) як площі фігури, утвореної графіком цієї функції та віссю X, можна запропонувати найпростіший спосіб інтегрування "хорошої" функції - застосувати формулу прямокутників. З її допомогою площа згаданої шуканої фігури підраховується як сума елементарних прямокутників, безліччю яких замінюється підінтегральна функція f(x).
Ілюстрація методу прямокутників наведено на рис. 4.4. Для підрахунку інтеграла I інтервал інтегрування [a,b] розбивається N відрізків. На кожному i-му відрізку f(x) замінюється прямокутником із шириною h і висотою f(x i ). Площа кожного з цих елементарних прямокутників становить h f (x i ), а їх сума S може вважатися наближенням до шуканого інтеграла I. Нескладно показати, що при N безліч елементарних прямокутників прагне шуканої фігури, утвореної підінтегральної функцією, а значення S I , причомупохибка (відмінність S від точного значення I) становить o (h 2).
Можна сприймати сенс алгоритму прямокутників у заміні вихідної підінтегральної функції іншою, близьку до неї (в даному випадку, шматково безперервною) функцією, інтеграл від якої легко підрахувати аналітично. Принцип точніших методів інтегрування якраз і полягає в інтерполяції підінтегральної функції f(x) деякою близькою залежністю y(x) та розрахунку інтегралу вже від цієї функції. Важливо, щоб при цьому, по-перше, інтеграл від y(x) міг бути точно розрахований аналітичними методами і, по-друге, функція f(x) була б якомога ближче до y(x), щоб зменшити похибку.
Очевидно, що найбільш простий алгоритм полягає в інтерполяції підінтегральної функції на кожному з N кроків інтегрування f(x) будь-яким поліно-
мом y(x). Відомо, що можуть бути запропоновані різні шляхи побудови поліномів, що інтерполюють, що відрізняються, зокрема, порядком. Наприклад, поліноми Лагранжа будуються при інтерполяції f(x) в n точках кожному з N елементарних інтервалів інтегрування. Сімейство класичних алгоритмів інтегрування у разі називається методами Ньютона—Котеса . Зауважимо, що з n=1 поліномом є пряма лінія, ми маємо метод трапецій; при n=2 інтерполюючим поліномом на кожному кроці інтегрування буде квадратична парабола, і ми отримаємо алгоритм Сімпсона і т.д.
Мал. 4.4. Реалізація алгоритму прямокутників
Додаткові відомості про алгоритм поліноміальної інтерполяції наведені в гла-
Недоліком перерахованих традиційних алгоритмів є труднощі у кількісній оцінці похибки. Аналітичні формули для похибки включають, окрім множника h K , що задає, власне, порядок апроксимаціїметоду, співмножник, що характеризує величину похідної (певного вищого порядку) підінтегральної функції. Оцінити її значення за конкретних розрахунків дуже складно і тому, відповідно, складно обчислити сумарну