№ 49*. Доведіть, що якщо промінь, що виходить з вершини кута, перетинає відрізок АВ із кінцями на сторонах кута, то він перетинає 1) відрізок АС із кінцями на сторонах кута; 2) будь-який відрізок CD з кінцями на сторонах кута.
1) Нехай K - точка перетину променя з відрізком АВ. Пряма OK перетинає відрізок АВ, отже точки А і В лежать у різних напівплощинах щодо прямої OK. Точки В і С лежать в одній напівплощині, тому що відрізок ВС не перетинається з прямою OK, а точки А і С лежать у різних напівплощинах, одержуємо, що пряма OK перетинає відрізок АС у певній точці, позначимо її літерою Е.
Пряма ВС розбиває площину на дві напівплощини, в одній з яких лежить даний промінь OK і точка А (оскільки відрізок AK не перетинає пряму ОВ) та точка Е (оскільки відрізок АЕ не перетинає пряму ОВ). Значить, точка Е повинна лежати на промені OK.
2) Нехай CD - довільний відрізок з кінцями на сторонах кута, і точка С лежить на боці ВВ, а точка D на боці ОА. Відрізок АВ перетинає промінь OK, отже, промінь OK перетинає і відрізок АС, а якщо промінь перетинає АС, то промінь перетинатиме і відрізок CD.