5. ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТА ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ
Транскрипт
1 Лекція 5 ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ І ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Сутність методу Багато дифузійних завдань вирішуються методами інтегральних перетворень методом операційного обчислення. ви досліджуваних функцій оригіналів деякими іншими Існують різні види таких перетворень: перетворення Фур'є ми з ним познайомилися в попередній лекції Лапласа Ханкеля Мейєра Конторовича-Лебедєва ряд інших Ми обмежуємо будь-яких перетворень! полягає в наступному До кожного з членів рівняння а також крайових умов застосовується інтегральне перетворення в результаті чого замість рівняння та крайових умов щодо концентрацій виходять рівняння та крайові умови щодо її зображення операційних методів до вирішення ряду завдань дифузійної кінетики дає значні переваги в порівнянні з класичними методами у швидкості та наочності отримання аналітичних рішень Зазвичай операційні методи використовуються там де класичні методи не ефективні розрахунку формули операційні методи використовуються для отримання наближених або асимптотичних рішень, що застосовуютьсянаприклад для малих або великих часів тк в цьому випадку немає необхідності добиватися повного вирішення проблеми. Завдання з довільним початковим розподілом концентрації ті коли початкові умови задані у вигляді функції просторових координат і в багатовимірному випадку Найбільш поширені перетворення Лапласа і Лапласа-Карсона Вони застосовуються для виключення з дифузійного рівняння тимчасової координати Найважливішою властивістю перетворення Лапласа є те, що операції диференціювання в просторі оригіналів відповідає операція множення зображення на операційну змінну Ця властивість дозволяє замінити рішення диференціальних рівнів. що значно простіше Фізична сутність інтегральних перетворень полягає в тому, що вони дозволяють отримати ряд закономірностей протікання фізичних процесів на основі аналізу рішень для усереднених значень досліджуваних фізичних величин.
2 Таким чином сутність операційного обчислення полягає в тому, що вивчається не сама функція оригінал, а її видозміна зображення Загальна схема обчислення може бути представлена у вигляді: Диференціальне рівняння Пряме перетворенняЗворотне перетворення Лапласа [ ] Рішення Типи інтегральних перетворень Перетворення Лапласа є інтегралом у часі Однак можна уявити собі перетворення за координатою Запишемо його у вигляді: [ p ] p p де p ядро перетворення Якщо p ip то отримаємо комплексне інтегральне перетворення Фур'є π Його окремі випадки: Синус-перетворення Фур'є: p i p π Косинус-перетворення Фур'є: p co p 3 π Відповідні їм зворотні перетворення: pi p а π pco p 3а π Синус-перетворення Фур'є застосовується для вирішення дифузійних завдань з граничними умовами I-го роду косинус-преобраз Завдання II-го роду Однак якщо в перетворенні Лапласа нескінченна межа природний нестаціонарний процес може продовжуватися нескінченний час то нескінченність по координаті істотно звужує коло вирішуваних проблем: комплексне перетворення Фур'є застосовується для нескінченних і напівнескінченних тіл Оскільки рішення дифузійних задач для обмеженого тіла представляє значний інтерес для ряду технічних додатків останніми роками інтенсивно розробляється теорія кінцевих інтегральних перетворень:
3 b [ p ] 3 p 4 Як і раніше µ p i для задач I-го роду 5а H µ p co для задач II-го роду 5б H У разі граничних завдань I-го та II-го роду µ π у задачах III- Міста µ знаходиться з α H рішення рівняння µ tg µ λ Недоліком подібних кінцевих інтегральних перетворень є громіздкість їх обігу за допомогою розкладання функції в ряди по ортогональних функціях. Тому великі перспективи відкриває використання кінцевих інтегральних перетворень Лапласа, які частіше називають операторами G p 6 де p імпульсна функція Гріна Деякі приклади найпростіших імпульсних функцій ми вже проводили: наприклад, дифузія з нескінченно тонкогоджерела в обмежене тіло надалі ми ними займемося докладніше Метод функцій Гріна мабуть є найпотужнішим сучасним методом розв'язання рівнянь математичної фізики Багатовимірна функція Гріна Інтегральне перетворення Фур'є Оператори Лапласа Імпульсні методи Ряди Фур'є Серед інших інтегральних перетворень можна згадати перетворення Хенкеля Це інтегральне перетворення з нескінченними межами інтегрування і з ядром у вигляді функції Бесселя p і p забезпечені таблицями перетворень для прямих і зворотних переходів Загальна схема розв'язання складних рівнянь або систем рівнянь Вибір відповідного інтегрального перетворення Примноження рівняння і граничних умов на ядро і взяття інтеграла по змінній яку треба виключити При цьому зазвичай відбувається автоматичний поділ змінних.
4 4 використання перетворення Лапласа або граничних при використанні перетворень Фур'є умов 3 Рішення звичайного диференціального рівняння Якщо це важко зробити то слід повторно застосовувати інтегральне перетворення можливо по іншій змінній поки не отримаємо алгебраїчне рівняння з елементарним рішенням 4 Спростити вираз для довільних Знайти оригінал Перевагою такого підходу є те, що думати майже не треба: вирішувати рівняння алгебри ви треба думати навчилися ще в школі а переходи оригінал зображення і назадздійснюється за допомогою таблиць Все ж зауважимо що перейти до зображення значно легше ніж потім повернутися до оригіналу Визначення Перетворення Лапласа одностороннє [t]t ставить у відповідність кожної однозначної функції оригіналу tt дійсно для якої невласний інтеграл не сходиться єдину функцію зображення комплексної змінної σi сходиться при σσ ті існує межа σ t lim t b t t t то вона сходиться абсолютно і рівномірно для σ σ і зображення R σ σ де σ показник зростання функції t R дійсна частина 3 Властивості оператора Лапласа Перетворенням Лапласа функції t визначеної принаймні при t > називається інтегральне перетворення: t t t [ t ] 7а де t оригінал функції її зображення символ перетворення Лапласа Розглянуте тут інтегральне перетворення володіє симетричним «ядром» функцією двох змінних і t з яких змінна називається «операційною змінною» В результаті застосування перетворення t Лапласа отримують як видно з функції операційної змінної а саме функцію яка називається «зображенням за Лапласом функції t» Функція t носить при цьому назву «оригіналу» скорочено називають просто «зображенням» Для функцій t для яких невласний інтеграл у правій частині сходиться свідомо існують зображення Сукупність функцій t мають зображення за Лапласом називають «простором оригіналів» а сукупність їх зображень «простором зображень» «Зворотне» перетворення зображення в оригінал здійснюється за допомогою інтегралу в комплексній площині а саме: t σ i t [ ] R [ що всі особливі точки функції знаходяться зліва від шляху інтегрування полюса Справедлива також наступна формула обігу: t 7 8 t
5 t 5 lim 8а! t t Примітка Не кожна функція має зворотне перетворення Лапласа наприклад Переважно рівняння дифузії вирішувати цим методом коли зображення є у відповідних таблицях Рівності 7 і 8 об'єднують в одну «відповідність»: 3 позначає що оригіналу t відповідає зображення та навпаки зображення випливають з його визначення 7 Найпростіші властивості: t cot t t t t t t і тп таблиця є в будь-якому підручнику і дуже широка Згадаємо ще тільки одну важливу для дифузії функцію: Диференціювання: [ ] [ ] де - значення функції при початковій умові [ ] [ ] θ θ
6 6 [ ] θ θ 9 Приклад: розв'яжемо рівняння виду: З початковою умовою: cot І граничною умовою: cot умова ІІ-го роду [ ] [ ] Зворотне перетворення: [ ]? Остаточно маємо: h ch h ch де cot Таким чином ми отримали загальне рішення рівняння Фіка 4 Загальне рішення диференціальних рівнянь операційним методом Дано диференціальне рівняння: ϕ або ϕ а з початковою умовою: Застосувавши перетворення Лапласа отримаємо: де [ ] при нульових початкових умовах Якщо де
7 7 3 3 a Для вирішення проблеми нам тепер необхідно знайти корені полінома тк його можна представити у вигляді 3 Зворотне перетворення Лапласа таким чином має вигляд: розкладання Хевісайда 5 Теорема розкладання Нехай зображення функції можна представити як відношення двох поліномів: де причому m > m m 3 Поліном містить коріння Тут можливі два випадки: Поліном має просте коріння ті всі різні: 4 полюси функції Перепишемо у вигляді: 5 Тепер слід знайти так як Для знаходження помножимо 5 на : 6 де lim Нехай тоді ті невизначеність Розкриємо невизначеність за правилом Лопіталя: lim lim 7Аналогічно і тп Застосуємо зворотне перетворення до 5: [ ] 8 Остаточно теорема розкладання:
8 8 9 Поліном має кратне коріння: m де ступінь кратності Наведемо остаточний результат для цього випадку: m m m lim! 6 Приклади Приклад поліном-ого ступеня h ch тк h ch Цей вираз ми вже отримували в цій лекції але тепер використовуючи теорему розкладання ми обійшлися без таблиць Приклад 3 Загальне рішення дифузійного рівняння: / ch де знайдемо з граничних умов Нехай u u
9 ch ch / / h u ξ h / / ξ ξ 9 h / u ξ ch / ξ ξ Отримане вираз являє собою загальне рішення дифузійного рівняння. міченої сфери Приклад 4 Інтегральні рівняння Вольтера типу згортки -го роду: -го роду: t y t t u y u u t u 4 p 3 y t co t t > t B y t t u y u u i t it p t t p y y y 4 4 t t y t i t t > 4 4 * * *
10 Дана лекція носить допоміжний характер Її завдання познайомити слухачів хімфаку МДУ з основами операційного обчислення та з суттю перетворення Лапласа Основна перевага інтегральних перетворень можливість перетворення після їх застосування диференціальних рівнянь у приватних похідних в гебраїчне рівняння