6.2 Пряме засічення (формули Гауса)

Якщо під час вирішення завдання виявиться, що видимості між вихідними пунктами немає, то застосовуютьформули Гаусса. Для цього на пунктахАтаВвимірюють відповідно кути1і2, а для контролю правильності визначення координат пунктуРвимірюють кут3на пунктіС> (Малюнок 17).

Порядок розв'язання задачі:

Малюнок 17 Пряма засічка (формули Гауса)

Два дирекційні кути необхідні вирішення завдання, третій – контролю та підвищення точності.

2. Формули Гауса виводяться із відомого співвідношення

tg1=

(87)

Ці дві рівності представляють систему двох рівнянь із двома невідомими ХР та YP. Віднімемо з рівняння (88) рівняння (89), отримаємо

XP = (90)

Значення ординати обчислюють у разі за формулами:

Формули Гаусса (90) і (91) служать безпосереднього обчислення значень координат пунктуР.

3. Віднімемо з обох частин рівності (90)XAі привівши праву частину до спільного знаменника, матимемо

XP– ХА=(92)

Подібно до цього знайдемо

XP– ХВ=(93)

Отримані дві рівності разом з рівностями (88) і (89) є формулами Гауса для збільшення координат. Обчисливши їх, координати пунктуРвизначають двічі:

XP = ХА + (ХР - ХА) = ХВ + (ХР - ХВ)

4. Використовуючи координати іншої пари даних пунктівВтаСта відповідні їм дирекційні кути2та3, вдруге обчислюють координати пунктуР.

Наприклад, формули Гауса для безпосередніх обчислень значень координат пунктуРпо другій парі

XP=(95)

Значення ординати обчислюють у разі за формулами:

YP = YВ + (XP – XВ) tg 2 або (96)

5. Оцінка точності. Допустимість розбіжності між значеннями координат, отриманими при двох розв'язках задачі, може бути визначена за тими самими формулами, що і при розв'язанні задачі за формулами Юнга.

6.3 Зворотне засічення (формули Кнейссля)

Прив'язку ходів можна здійснити, вирішивши задачу знаходження координат пунктуРза трьома вихіднимиА,В,С(рисунок 18), що розташовані на значній відстані від визначається.

Малюнок 18 Зворотне засічення

ля контролю вимірювань проводять спостереження на пунктD. Таким чином, для вирішення задачі з контролем необхідно з визначеного пунктуРбачити чотири вихідні пункти і виміряти при визначеній точці три кути. Найпростіше це завдання вирішується з використанням формул Кнейссля.

Порядок розв'язання задачі:

Тому можна написати:

tg 2 = tg (1 + 1) =

(97)

2. Для скорочення записів при подальшому виведенні перенесемо початок координат у точкуА. Тоді у новій системі координат буде:

3. Відомо, що tg ВР =

(98)

а tg 1 =

. Тоді маємо

=(99)

Оскільки ХА = 0 і YA = 0, то отримаємо

=,

Розкривши дужки і заново згрупувавши члени, матимемо

(aYВ - XВ) XP - (aXВ + YВ) YP = -( Х) 2 –( Y) 2

Позначивши коефіцієнти при Х і Y у першому з двох рівнів через К1 і К2, тоді як у другому – через К3 і К4, матимемо систему двох рівнянь із двома невідомими.

I К1  XP - К2  YP = - Х 2 - Y 2

Віднімемо з першого рівняння друге, отримаємо

(К1 – К3)  XP -(К2 – К4)  YP = 0, звідки випливає, що

4. Позначимо

(102)

тоді

або XP = С  YP (103)

Підставивши цей вислів у рівняння І та ІІ, отримаємо

YP=(104)

7. сtg РД =

; контроль РД - РА = 3 віднімання (106)

Графічна оцінка точності за формулами Г.Є. Сомовавизначення положення пунктуР, отриманого з рішення зворотної засічки, проводиться у наступній послідовності.

За відомими та отриманими координатами наносять пунктиА,В,С,DіРу такому масштабі, щоб не було напрямків менше 5 - 6 см. Вимірюють відстані від пунктуРдо вихідних пунктівS1,S2,S3таS4. Обчислюють градієнти напрямів за формулоюqi=

;= 206265. У прийнятому масштабі градієнти відкладають від пунктуРза відповідними напрямками, з'єднують кінці градієнтів та отримують два інверсійні трикутникиА1В1С1таВ1С1Д1(рисунок 21). З вершинА1іС1першого інверсійного трикутника проводять висотиh1іh3на протилежні сторони та вимірюють їх. З вершинВ1іД1другого інверсійного трикутника аналогічно знаходятьh2таh4.

Для графічної оцінки точності за формулами Г. Є. Сомова визначають середні квадратичні похибки положення пунктуР, отриманого відповідно при першому та другому рішеннях:

M1=

; (107)

M2=

; (108)

M =

; (109)

деm- середня квадратична похибка виміру кутів.

Малюнок 19 Графічна оцінка точності за Г.Є. Сомову

1. Необхідні вихідні дані визначення координат додаткового пункту прямою засічкою за формулами Юнга.

2. У якій послідовності вирішується пряме засічення за формулами Гауса?

3. Послідовність вирішення зворотного засічення за формулами Кнейссля.

4. Як виробляють визначення графічної оцінки точності за формулами Г.Е. Сомова?

5. Напишіть формулу визначення градієнтів напрямів.

---