7.5. Обчислення інтегралів Мора за способом Сімпсона
Застосування методу Мора, як ми зуміли переконатися, вимагає обчислення інтегралів у процесі визначення переміщень. Найчастіше за наявності великої кількості ділянок, куди доводиться ділити конструкцію, рішення стає громіздким. Тому на практиці розрахунків вважають за краще мати справу з графо-аналітичними методами, що дозволяють виключити інтегрування з процесу визначення переміщень. Такі методи бувають не завжди точні та універсальні, але їхня простота і доступність робить їх дуже популярними. До таких методів належить метод Мора-Симпсона. Ще у XVIII столітті англійським математиком Томасом Сімпсоном було запропоновано обчислювати інтеграли графічним методом, виходячи з того, що інтеграл становить межу суму нескінченно малих величин. Сімпсон запропонував розбивати площу фігури, що утворилася під кривою підінтегральної функції, на вузькі смужки та підсумовувати площі цих смужок. Їм було сформульовано відповідні рекомендації та запропоновано різні формули, що дозволяють упорядкувати процес подібного інтегрування. Складність цих формул залежала від складності підінтегрального виразу. Найчастіше запропонований їм підхід до інтегрування дає похибки, але є такі функції, інтегрування яких у спосіб Симпсона дає точне рішення. Йдеться про гладкі унімодальні функції, порядок яких не перевищує трьох.
Досліджуючи функції, що входять у формулу Мора, можна дійти невтішного висновку, що функції згинальних моментів, складених для одиничних станів завжди лінійні. При дії на балку розподіленого навантаження постійної інтенсивності згинальний момент описується кривою другого порядку. При перемноженні цих функцій під інтегралом Мора ми отримуємо криву третього порядку. Це означає, що, якщо обмежитиклас розв'язуваних задач балками і рамами, навантаженими зосередженими силами і розподіленим навантаженням постійної інтенсивності, то при використанні визначення переміщень методу Мора-Симпсона можна отримувати точне рішення.
Розглянемо інтегрування за способом Сімпсона функції, що описується кубічною параболою, наведеною на рис.7.10.
Формула, якою пропонується користуватися в цьому випадку, має вигляд:
. (7.32)
На рис 7.11 наведено вантажну (а) та одиничну (б) епюри згинальних моментів для однієї ділянки.
ЛітерамиА,СіВпозначені згинальні моменти на лівому кінці ділянки, посередині та на правому кінці ділянки на вантажній епюрі. Літерамиа,cіbпозначені згинальні моменти на лівому кінці ділянки, посередині і правому кінці ділянки на одиничній епюрі.
Інтеграл Мора для однієї ділянки має вигляд:
Добуток моментів під інтегралом позначимо:
Застосовуючи формулу Сімпсона до інтегралу Мора після відповідних замін та підстановок, отримаємо:
.
При вирішенні завдань з кількома ділянками формула Мора-Сімпсона набуває вигляду:
У тому випадку, якщо обидві епюри згинальних моментів, вантажна та одинична, змінюються за лінійним законом і є на кожній з ділянок трапеції, можна виключити середні значення моментів
Підставляючи ці значення формулу (7.35), отримуємо формулу трапецій:
(7.36)
Якщо обидві епюри є прямокутниками або трикутниками, зручно користуватися формулою, яка легко виходить з формули (7.35):
Формула (7.37) одержала назву формули трикутників. Тут
Значення коефіцієнта
Вид епюри
Вид епюри
Метод Мора-Сімпсона називають методом перемноження епюр. Розглянемо порядок вирішення завдань методом Мора-Сімпсона.
1. Розбиваємо балку на ділянки та на кожній ділянці проставляємо по три характерні перерізи: на лівому кінці, посередині та на правому кінці ділянки.
2. Обчислюємо значення вантажних моментів у кожному з характерних перерізів та будуємо епюру вантажних згинальних моментів
3. Зображаємо одиничний стан системи, прикладаючи у тому перерізі, де слід визначити переміщення, відповідну одиничну узагальнену силу: щодо прогину прикладають зосереджену одиничну силу; при визначенні кута повороту прикладають зосереджену поодиноку пару сил.
4. Обчислюємо значення поодиноких моментів у характерних перерізах та будуємо епюру поодиноких моментів
5. Підставляємо обчислені значення вантажних та одиничних згинальних моментів у формулу Мора-Сімпсона та обчислюємо переміщення.
6. Знак переміщення буде позитивним, якщо переміщення, що шукається, збігається з напрямом відповідної узагальненої одиничної сили. Якщо напрямок переміщення та напрямок узагальненої одиничної сили не збігаються, знак переміщення буде негативним.
Розглянемо кілька прикладів визначенняпереміщень у стрижневих системах методом Мора-Симпсона.
Приклад 7.5.Використовуючи метод Мора-Сімпсона, визначити кут повороту в перерізі зображеної на рис.7.12,а балки, якщо жорсткість поперечного перерізу балкикНм 2 .
1. Балка (Рис.7.12, а) містить одну ділянку. Проставляємо характерні перерізи та обчислюємо у кожному з них вантажні моменти. Значення моментів характерних перерізах проставлені на рис.7.12,б. Опорні реакції в даній задачі можна не визначати, згинальні моменти можна визначити, роблячи обчислення праворуч.
2. Будуємо епюру вантажних згинальних моментів
3. Зображаємо одиничний стан балки, прикладаючи в перерізі У одиничний момент (рис.7.12, в). Знаходимо величини одиничних згинальних моментів у характерних перерізах. Значення цих моментів проставлено на рис.7.12,г.
Будуємо епюру поодиноких згинальних моментів (Рис.7.12, г).
5. Підставляючи знайдені значення вантажних і одиничних згинальних моментів у формулу Мора-Сімпсона (7.35), знаходимо кут повороту перерізу:
радий.
Приклад 7.6.Визначити вертикальне та горизонтальне переміщення перерізу В рами, зображеної на рис.7.13,а, якщо жорсткість поперечного перерізу рамикНм 2 .
1. Розбиваємо раму на ділянки, розставляємо характерні перерізи та вибираємо точку спостереження (Рис.7.13,а).
2. Визначаємо вантажні моменти в характерних перерізах і будуємо епюру вантажних моментів, що згинають (Рис.7.13,б).
3. Зображаємо перший одиничний стан (Рис.7.13,в), визначаємо моменти в характерних перерізах і будуємо епюру одиничних згинальних моментів (Рис.7.13,г).
4. Зображаємо другий одиничний стан (Рис.7.13,д), визначаємо моменти в характерних перерізах і будуємо епюру одиничних згинальнихмоментів (Рис.7.13, е).
5. Знаходимо вертикальне переміщення вузла, перемножуючи епюри згинальних моментів
м
Переміщення вийшло позитивним. Це означає, що напрямок переміщення збігається із напрямком одиничної сили
6. Знаходимо горизонтальне переміщення вузла, перемножуючи епюри згинальних моментів
Горизонтальне переміщення виявилося негативним. Це означає, що вузол у горизонтальному напрямку переміщається не вліво, куди спочатку була спрямована одинична сила, а вправо, що відповідає фізичному змісту завдання.