9. Багатоканальна СМО з обмеженим часом очікування
Мета роботи:
Оволодіння аналітичними методами та методами імітаційного моделювання дослідження багатоканальних систем масового обслуговування з обмеженим часом очікування.
Теоретичні відомості
Насправді зустрічаються варіанти СМО, у яких заявки, не дочекавшись обслуговування, можуть залишати систему (”нетерплячі” заявки).
Розглянемо n-канальну СМО з очікуванням, у якій кількість місць у черзі не обмежена, а граничне значення часу очікування є випадковою величиною із середнім значенням. Інакше кажучи, на кожну заявку діє свого роду пуасонівський потік догляду з інтенсивністю
Якщо цей потік пуасонівський, то процес у СМО буде Марківським. Створивши розмічений ГСП для цього процесу та застосовуючи загальні рівняння схеми загибелі-розмноження, можна отримати вирази для граничних ймовірностей. Вважаючи ρ = λ / μ і β = ν / μ матимемо:
Зазначимо деякі особливості СМО з обмеженим часом очікування щодо СМО без тимчасових обмежень.
Якщо довжина черги обмежена і заявки “терплячі”, то стаціонарний граничний режим існує лише у разі ρ = n відповідна нескінченна геометрична прогресія розходиться, що відповідає необмеженому зростанню черги за ).
На відміну від СМО без тимчасових обмежень у СМО з "нетерплячими" заявками режим, що встановився при досягається завжди, незалежно від наведеної інтенсивності потоку заявок ρ . Це випливає з того, що ряд для P 0 у знаменнику формули (0-1) сходиться за будь-яких позитивних значень ρ і β .
Для СМО з "нетерплячими" заявками поняття ймовірності відмови втрачає сенс - кожна заявка стає в чергу, але може не дочекатися обслуговування, пішовши раніше.
Відносну пропускнуздатність q такий СМО можна визначити в такий спосіб. Очевидно, що будуть обслужені всі заявки, окрім тих, які підуть із черги. Підрахуємо кількість заявок, що залишають чергу достроково. Для цього обчислимо середню кількість заявок у черзі:
На кожну з цих заявок діє "потік догляду" інтенсивності ν. Отже, із середньої кількості заявок у черзі йдуть без обслуговування в середньому заявок, а обслуговуватимуться в одиницю часу
заявок. Відносна пропускна здатність дорівнюватиме
Середню кількість зайнятих каналів отримуємо, поділивши абсолютну пропускну здатність А на μ:
За допомогою цього виразу можна знайти середню кількість заявок у черзі:
Значення числа зайнятих каналів, що входить до цієї формули, визначається як математичне очікування випадкової величини, що приймає значення 0,1,2,… n з ймовірностями , , , , ...
Зміст роботи .
Підготовка інструментарію експерименту.
Виконується відповідно до загальних правил.
Розрахунок на аналітичній моделі.
1. У програмі Microsoft Excel підготуйте таблицю наступної структури (через велику ширину таблиці ліва, центральна та права її частини по горизонталі показані на окремих малюнках).
2. Стовпцями параметрів СМО у таблиці є:
n: число каналів
T a : середній інтервал між приходами заявок
T s : середній час обслуговування заявок
T w : середня тривалість очікування заявок у черзі до виходу з системи без обслуговування
Значення належить рівним порядковому номеру у списку групи.
Значенняnі вважаються рівними відповідно
Таким чином, необхідно знайти теоретичні та експериментальні значення показників СМО для 15комбінацій значень параметрів.
3. У стовпцях r і b частиниАналітична модельзапишіть вирази для обчислення проміжних та кінцевих результатів:
P 0 : Вираз для P 0 (0‑1) з урахуванням значень у стовпцях
КС: Контрольна сума -
А: Вираз абсолютної пропускної спроможності (0‑2)
q : Вираз відносної пропускної здатності (0‑3)
nw : Вираз для середньої довжини черги (0‑5)
ns : Вираз для середньої кількості зайнятих каналів (0‑4)
Стовпець КС включений контролю правильності обчислень.
4. До стовпчиків правої частини таблиці (Імітаційна модель) заносяться результати, отримані на програмній моделі.
Експеримент на імітаційній моделі.
1. Встановіть режим запуску з експоненційно розподіленим часом обслуговування, задавши значення відповідного параметра.
2. Для кожної комбінаціїn, Ta, Ts, Twздійсніть запуск моделі.
Результати запусків внесіть до таблиці.
Аналіз результатів.
1. Проаналізуйте результати, отримані теоретичним та експериментальним способами, порівняйте результати між собою.
2. Для будь-якої комбінаціїn, Ta, Ts проведіть дослідження залежності Pдоглядувід значення Tw, задавши кілька значеньTw, що відрізняються на ту саму величину.
3. Побудуйте графік залежностіPдогляду=F(Tw).
Звіт по роботі:
Звіт по роботі повинен включати:
- результати експериментів із програмною моделлю,
- ГрафікиPдогляду = F(Tw), зведені в таблицю зі структурою, описаною вище.
Контрольні питання :
1) Дайте короткий опис моделі СМО з обмеженимчасом очікування у черзі.
2) Намалюйте розмічений ГСП для СМО з обмеженим часом очікування у черзі.
3) За яких умов у системі з обмеженим часом очікування у черзі встановлюється стаціонарний режим?
4) Який сенс має поняття ймовірності відмови СМО з обмеженим часом очікування в черзі?
1) Проведіть експеримент для тих самих наборів значень параметрів дисципліни обслуговування з пріоритетами для коротких заявок.
2) Досліджуйте залежність системних показників від виду розподілу часу обслуговування.
4) Дослідіть модель п.3), додавши параметр пріоритетності обслуговування коротких заявок.
5) Проведіть дослідження економічної ефективності вибору значень параметрів СМО, навіщо побудуйте таблицю зі структурою:
(Ліва частина таблиці)
(Права частина таблиці)
Знайдіть значення прибутку в одиницю часу за різних поєднань параметрів.
Побудуйте графіки залежності прибутку від числа каналів за фіксованих часових параметрів.