Або можна вибрати k m способами
1. Правило суми.Класичне формулювання
Якщо елемент можна вибратиkспособами, а елемент можна вибратиmспособами.
Тодіабоможна вибратиk+mспособами.
Теорема про потужність об'єднання множин(сучасне формулювання)
Кількість елементів об'єднання двох множин дорівнює сумі кількості елементів у першому та у другому множині, за вирахуванням кількості елементів їх перетину: .
Причому, якщо множини не перетинаються, то теорема набуває вигляду, аналогічного класичному формулюванню: .
Для трьох множин теорема має вигляд: .
Приклад:З 35 учнів клас за підсумками року мали "5" з математики - 14 осіб; з фізики – 15 осіб; з хімії – 18 осіб; з математики та фізики – 7 осіб; з математики та хімії – 9 осіб; з фізики та хімії – 6 осіб; з усіх трьох предметів – 4 особи.
Скільки людей мають “5” із зазначених предметів? Скільки людина не має “5” із зазначених предметів? Чи має “5” тільки з математики? Чи має “5” тільки з двох предметів?
^ 2. Правило твору.Класичне формулювання
Якщо елемент можна вибратиkспособами, а елемент можна вибратиmспособами.
Тодііможна вибратиkmспособами.
Теорема про потужність прямого твору множин(сучасне формулювання)
Кількість елементів прямого твору двох множин дорівнює добутку кількості елементів першої та другої множини: .
Приклад:З 3 екземплярів підручника алгебри, 7 екземплярів підручника геометрії та 6 екземплярів підручника фізики, треба вибрати комплект,містить усі підручники по одному разу. Скільки способами це можна зробити?
^ 3. Кількість розміщень без повторень
Число розміщень без повторень зnпоk- це число способів, скільки можна зnрізних елементів побудувати векторів зkрізними координатами.
Число розміщень без повторень перебуває за формулою: .
Приклад:Скільки способів можна побудувати 3-значне число з різними цифрами, що не містить цифри 0?
^ 4. Число розміщень з повтореннями
Число розміщень з повтореннями зnпоk- це число способів, скільки можна зnрізних елементів побудувати векторів зkкоординатами, серед які можуть бути однакові.
Число розміщень із повтореннями знаходиться за формулою: .
Приклад:Скільки слів довжини 6 можна становити з 26 букв латинського алфавіту?
^ 5. Число перестановок без повторень
Число перестановок без повторень ізnелементів – це число способів, скільки можна розташувати на n різних місцяхnрізних елементів.
Число перестановок без повторень перебуває за формулою: .
Приклад:Скільки можна розставити на книжковій полиці 5 різних книг? У скільки випадках дві певні книги А і В опиняться поруч?
Зауваження:, де х - число способів вибрати потрібні місця; у- число способів розташувати ними необхідні елементи; z- число способів розташувати інші елементи на місцях, що залишилися.
^ 6. Число поєднань без повторень
Число поєднань без повторень зnпоk- це число способів, скільки можна зnрізних елементів вибратиkштук без урахування порядку.
Число поєднань безповторень перебуває за формулою: .
Властивості: 1);2);3);4);5);6).
Приклад:В урні 7 куль. Із них 3 білих. Навмання вибирають 3 кулі. Скільки способами це можна зробити? У кількох випадках серед них буде: 1) один білий; 2) два білі; 3) усі білі.
1) В акваріумі 11 рибок. З них 4 червоні, інші золоті. Навмання вибирають 4 рибки. Скільки способами це можна зробити? Знайти кількість способів зробити це так, щоб серед них буде: а) рівно одна червона; б) рівно 2 золоті; в) хоча б одна червона.
2) У списку 8 прізвищ. З них 4 – жіночі. Скільки способами їх можна розділити на дві рівні групи те щоб у кожної була жіноча прізвище?
3) З колоди в 36 карт вибирають 4 . Скільки способів зробити це так, щоб: а) усі карти були різних мастей; б) усі карти були однієї масті; в) 2 червоні та 2 чорні.
4) На картках розрізної абетки дано букви К, К, К, У, У, А, Е, Р. Скільки способів скласти їх у ряд так, щоб вийшло «кукареку».
5) Дано картки розрізаної абетки з літерами О, Т, О, Л, О, Р, І, Н, Р, О, Л, О, Р. Скільки способів скласти їх так, щоб вийшло слово «отолоринголог».
6) Дано картки нарізної абетки з літерами Л, І, Т, Е, Р, А, Т, У, Р, А. Скільки способів скласти їх у ряд так, щоб вийшло слово «література».
7) 8 осіб стають у чергу. Скільки способів зробити це так, щоб дві певні людини А і Б виявилися: а) поряд; б) на краях черги;
8) 10 осіб сідають за круглий стіл на 10 місць. Скількими способами це можна зробити так, щоб поряд виявилися: а) дві певні людини А та Б; б) три певні особи А, Б і С.
9) Скільки способами можна розташувати на 10 шляхахстанції 1 товарний і 2 пасажирських поїзди те щоб товарний перебував сусідньому шляху з жодним із пасажирських поїздів.
10) З 10 арабських цифр становлять 5-значний код. Скільки способами це можна зробити так, щоб: а) всі цифри були різними; б) останньому місці парна цифра.
11) З 26 букв латинського алфавіту (серед них 6 голосних) складається шестилітерне слово. Скільки способами це можна зробити так, щоб у слові були: а) рівно одна літера «а»; б) рівно одна голосна літера; рівно дві літери "а"; в) рівно дві голосні.
12) Скільки чотиризначних чисел поділяються на 5?
13) Скільки чотиризначних чисел з різними цифрами поділяються на 25?
14) У скільки десятизначних числах сума цифр дорівнює 3?
15) Кинуті 3 гральні кістки. У кількох випадках випала: а) рівно 1 «шістка»; б) хоча б одна "шістка".
16) Кинуті 3 гральні кістки. У кількох випадках буде: а) всі різні; б) рівно два однакові числа очок.
17) Скільки слів з різними літерами можна скласти з алфавіту а, в, с, d. Перелічити їх у лексикографічному порядку: abcd, abcd….
18) Записати прямий добуток множин А = В =.
19) У класі 8 осіб мають «5» з літератури; 9 осіб – з англійської; 10 осіб – з історії. Крім того, відомо, що 6 осіб мають «5» з літератури та історії; 5 – з літератури та англійської; 5 – з історії та англійської; 3 – з усіх предметів. Скільки людей мають «5»: а) лише з літератури; б) лише з двох предметів; в) не мають «5» з англійської.
20) У 20 кімнатах гуртожитку інституту Дружби Народів живуть студенти з України; у 15 – з Африки; у 20 – з країн Південної Америки. Причому у 7 – живуть українці та африканці, у 8 – українці та південноамериканці; о 9 -африканці та південноамериканці. У 3-х кімнатах живуть і українці, і південноамериканці, і африканці. Скільки кімнат живуть студенти: