Алгоритм компактного зберігання та вирішення слау високого порядку

Алгоритм компактного зберігання та рішення СЛАУ високого порядку

Однією з існуючих труднощів, що виникають при чисельній реалізації рішення контактних завдань теорії пружності методом кінцевих елементів (МКЕ), є вирішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) великого порядку виду

Більшість існуючих методів вирішення таких систем розроблено у припущенні того, що матриця A має стрічкову структуру, причому ширина стрічки , де n2 - порядок. Однак, при використанні МКЕ для чисельного вирішення контактних завдань можливі випадки, коли ширина стрічки [5].

1 ОГЛЯД МЕТОДІВ РІШЕННЯ СЛАУ, ВИНИКАЮЧИХ У МКЭ

Основна ідея методу кінцевих елементів полягає в тому, що будь-яку безперервну величину, таку, як температура, тиск і переміщення, можна апроксимувати дискретною моделлю, яка будується на безлічі безперервних функцій, визначених на кінцевому числі підобластей. Шматково-безперервні функції визначаються за допомогою значень безперервної величини в кінцевому числі точок області, що розглядається [1,2,3].

У загальному випадку безперервна величина заздалегідь невідома і потрібно визначити значення цієї величини деяких внутрішніх точках області. Дискретну модель, однак, дуже легко побудувати, якщо спочатку припустити, що числові значення цієї величини у кожній внутрішній точці області відомі. Після цього можна перейти до загального випадку. Отже, при побудові конкретної моделі безперервної величини надходять так:

1. У аналізованої області фіксується кінцеве число точок. Ці точки називаються вузловими точками чи просто вузлами.

2. Значення безперервної величини в кожній вузловій точці вважається змінною, яка має бути визначена.

3. Область визначеннябезперервної величини розбивається на кінцеве число підобластей, які називають елементами. Ці елементи мають загальні вузлові точки і разом апроксимують форму області.

4. Безперервна величина апроксимируется кожному елементі функцією, що визначається з допомогою вузлових значень цієї величини. До кожного елемента визначається своя функція, але функції підбираються в такий спосіб, щоб зберігалася безперервність величини вздовж меж елемента.

Для вирішення СЛАУ в МКЕ потрібно вибрати метод розв'язання. Остаточне рішення про застосування ітераційних або прямих методів рішення СЛАУ необхідно приймати на основі аналізу структури математичної задачі, що досліджується. Прямі методи рішення СЛАУ вигідніше використовувати, якщо необхідно вирішувати багато однакових систем з різними правими частинами, або якщо матрицяАне є позитивно визначеною. Крім того, існують завдання з такою структурою матриці, для якої прямі методи завжди кращі, ніж ітераційні.

Розглянемо низку точних методів розв'язання СЛАУ [4,5].

Розв'язання систем n-лінійних рівнянь з n-невідомими за формулами Крамера.

Нехай дана система лінійних рівнянь, у якій число рівнянь дорівнює числу невідомих:

Припустимо, що визначник системи d не дорівнює нулю. Якщо тепер послідовно замінити в визначнику стовпці коефіцієнтів при невідомих хj стовпцем вільних членів bj, то вийдуть відповідно n визначників d1. dn.

Теорема Крамера. Система n лінійних рівнянь з n невідомими, визначник якої відмінний від нуля, завжди спільна і має єдине рішення, яке обчислюється за формулами:

x1=d1/d; x2=d2/d;. ; xn-1=dn-1/d; xn = dn / d;

Вирішення довільних систем лінійних рівнянь.

довільнасистема лінійних рівнянь, де число рівнянь системи не дорівнює числу n невідомих. Припустимо, що система (3) спільна і rmin, тоді в матрицях А і А знайдуться r лінійно незалежних рядків, інші m-r рядків виявляться їх лінійними комбінаціями. Перестановкою рівнянь можна домогтися, що ці r лінійно незалежних рядків займуть перші r місць.

Звідси випливає, що з останніх m - r рівнянь системи (3) можна як суму перших r рівнянь (які називаються лінійно незалежними чи базисними), взятих з деякими коефіцієнтами. Тоді система еквівалентна наступній системі r рівнянь із n невідомими

Припустимо, що мінор r-го порядку, складений з коефіцієнтів за перших r невідомих, відмінний від нуля Мr 0, тобто є базисним мінором. І тут невідомі, коефіцієнти у яких становлять базисний мінор, називаються базисними невідомими, інші n - r - вільними невідомими.

У кожному з рівнянь системи (4) перенесемо до правої частини всі члени з вільними невідомими xr+1. xn. Тоді отримаємо систему, яка містить r рівнянь із r базисними невідомими. Оскільки визначник цієї системи є базисним мінором Mr, то система має єдине рішення щодо базисних невідомих, яке можна знайти за формулами Крамера. Даючи вільним невідомим довільні числові значення, отримаємо загальне рішення вихідної системи.

Однорідна система лінійних рівнянь.

Нехай дано однорідну систему лінійних рівнянь n невідомими

Так як додавання стовпця з нулів не змінює рангу матриці системи, то на підставі теореми Кронекера - Kaneллі ця система завжди спільна і має принаймні нульове рішення. Якщо визначник системи (5) відмінний від нуля та числорівнянь системи дорівнює числу невідомих, то за теоремою Крамера нульове рішення є єдиним.

У тому випадку, коли ранг матриці системи (5) менший від числа невідомих, тобто r (А)

---