Алгоритми багатогранних поверхонь
Головна » Електрика в театрі » Алгоритми багатогранних поверхонь
Розділ II. Формальні моделі
1. КОНСТРУЮВАННЯ ЛІНІЙ КАРКАСУ. ВИЗНАЧНИК І КАРКАС ПОВЕРХНІ
Одним з основних понять у прикладній геометрії
поверхонь є поняття визначника поверхні. Визначником поверхні називають сукупність умов, що задають поверхню. Поверхня вважається заданою, якщо щодо будь-якої точки простору можна однозначно вирішити питання її належності даної поверхні. Визначник поверхні складається з двох частин: геометричної та алгоритмічної. У геометричну частину визначника входять геометричні образи та параметри постійної форми, положення та величини. . Алгоритмічна частина визначника поверхні являє собою алгоритм побудови точок і ліній поверхні, що займають на ній змінне положення. Наприклад, геометрична частина визначника поверхні обертання складається з осі обертання та утворює, що мають постійне положення та форму. Алгоритмічна частина визначника цієї поверхні задається операцією обертання осі, що утворює навколо.
Геометрична частина визначника лінійчастої поверхні складається з двох напрямних ліній постійного положення та форми, а алгоритмічна частина задається взаємно-однозначною відповідністю точкових рядів напрямних ліній (за допомогою площини паралелізму, третьої напрямної, пропорційним розподілом хорд напрямних і т. д.).
Постійні геометричні образи та параметри, що задають алгоритмічну частину визначника, теж входять до геометричної частини визначника. Так, площина паралелізму або третя напрямна лінійчастої поверхні приєднуються до вихідних напрямних поверхні як елементи геометричної частини їївизначника. Аналіз закону утворення поверхні має на меті виділення її визначника. Алгоритмічна частина визначника дозволяє скласти формальну модель конструювання безперервного каркаса поверхні. У фор-
мального запису аналітичні алгоритми конструювання поверхні включають в себе параметри, що безперервно змінюються. Однак ні на кресленні, ні при реалізації їх на ЕОМ не можна досягти безперервної зміни цих параметрів: вони задаються дискретно. Дискретна множина значень параметрів визначає дискретну множину ліній поверхні. Ця множина ліній називається дискретним каркасом поверхні.
Як геометричну частину визначника поверхні можна призначити деякий її дискретний каркас. Тоді алгоритмічна частина визначника включає процес безперервної зміни параметрів заданих ліній, що забезпечує завдання безперервного каркаса поверхні з вихідним дискретним каркасом.
Поверхні, які задаються безперервними каркасами, називаються каркасними поверхнями. Каркасні поверхні можуть утворюватися також шляхом переміщення в просторі плоскої або просторової лінії незмінної форми або шляхом безперервних перетворень вихідної твірної. Перші з цих поверхонь називатимемо поверхнями конгруентних утворюючих (іноді їх називають кінематичними), другі - поверхнями перетворень. Надалі під безперервно змінюваними величинами розумітимемо величини, крок зміни яких може бути зроблений менше будь-якої як завгодно малої наперед заданої величини. Практично це величини, зміни яких мають досить малий крок.
Однопараметричні сімейства ліній
При конструюванні каркасних поверхонь буває необхідно заздалегідь ставити вкоординатної площини безперервні однопараметричні сімейства ліній Існують різні методи конструювання таких множин ліній. Одним із найпоширеніших методів вирішення цього завдання є параметричний метод. Будь-яка крива лінія визначається деякою сукупністю умов. Частина цих умов охоплює геометричні образи постійного становища та постійних величин. Друга частина умов визначає спосіб побудови поточних точок фігурою постійних елементів. Сукупність умов, що характеризують криву, називається її визначником.
Геометричні образи постійного становища називаються геометричною частиною визначника кривою, а спосіб побудови поточних точок кривою алгоритмічною частиною. Наприклад, коло задається положенням центру і величиною радіусу. Це геометрична частина її визначника, а алгоритмічна частина включає спосіб побудови точок, віддалених від її центру на відстань, рівну величині радіуса. Параметри, що визначають геометричну частину визначника кривої, входять до її рівняння. Алгоритмічна частина являє собою послідовник-
НОСТ операцій над цими параметрами і координатами точок, що задаються рівнянням кривої.
Наприклад, конхоїда Нікомеда визначається в такий спосіб. На відстані а від осі у проводиться паралельна їй пряма і задається величина деякого відрізка /. Через початок координат проводяться всілякі прямі п, у яких від точок М, . перетину їх із прямою т відкладаються відрізки MN = I. Точки N, . утворюють конхоїду. До рівняння входять два параметри:
Параметри герметричної частини визначника кривої поділяються на параметри положення та параметри форми. Зміна перших призводить лише до зміни положення кривої щодо системи координат, змінадругих тягне у себе зміна форми кривої.
Пряма лінія не має параметрів форми. Вона має лише два параметри становища. Окружність має один параметр форми (величина радіусу) та два параметри положення (координати центру). Всі інші криві мають три параметри положення та в залежності від способу їх утворення один або декілька параметрів форми. Загальна кількість параметрів кривої називається її параметричним числом. Наприклад, парабола є чотирипараметричною кривою. Конхоїда Нікомеда є п'ятипараметричною кривою. Вона має три параметри положення та два параметри.форми. Два параметри кривої визначають її.паралельний перенесення на деякий вектор, а третій визначає її обертання навколо точки.
Параметричний спосіб конструювання сімейств кривих. Параметричний метод конструювання однопараметричних сімейств кривих ось у чому. Крива задається рівнянням, до якого входять параметри положення та форми. Якщо змінюється параметр положення, крива буде переміщатися без зміни форми. При зміні параметра форми крива змінюватиме свою форму. І в тому і в іншому випадку вихідна крива розмножиться в безперервне однопараметричне сімейство, тому вибираємо один із параметрів і, зафіксувавши всі інші параметри, піддаємо його безперервним змінам. Безперервну зміну можна піддавати кілька або навіть всі параметри рівняння кривої. Щоб отримати при цьому однопараметричне сімейство, необхідно на параметри, що змінюються, накласти відповідну кількість зв'язків. Зауважимо, що при деяких способах зміни параметрів ми можемо отримувати сімейства миттєво-відповідних кривих деяких перетворень.
Точне визначення миттєвого перетворення див. нижче при описі топологічнихперетворень.
Мал. 6. Однопараметричні сімейства прямих ліній
НДІ. Наприклад, при зміні величини радіуса кола отримуємо миттєво-подібні криві, при зміні величини однієї півосі еліпса - миттєво-родинні криві. Нижче наведено приклади конструювання однопараметричних сімейств кривих. Креслення цих сімейств наведено на рис. 6-10.
Однопараметричні сімейства прямих ліній. Пряма лінія визначається рівнянням у = kx Ь, де k - тангенс кута нахилу прямої до осі х; b - відрізок, що відсікається нею на осі у. Зафіксуємо значення параметра k. Тоді всіляким значенням b відповідатиме безліч паралельних прямих, що заповнюють площину (рис. 6, а). Можна зробити інакше. Зафіксуйте значення параметра Ь. Тоді різноманітним значенням параметра k відповідатиме безліч прямих пучка (рис. 6, б).
Однопараметричне безліч прямих можна отримати як безліч дотичних до деякої кривої. Якщо як ця крива буде взято коло з центром на початку координат, то безліч дотичних задається рівнянням л; cos а -\ у &\па, - - г = Q, де г.- радіус кола, а а - змінний параметр (рис. 6, в). У загальному випадку, коли крива задана рівнянням У f
Останній спосіб є найбільш загальний спосіб утворення однопараметричної множини прямих.
Однопараметричні сімейства кривих другого порядку. Одним із найпростіших сімейств кривих другого порядку є сімейство концентричних кіл. Якщо їхній загальний центр розташований на початку координат, то рівняння сімейства х^ -\-у^ = г^, де г - радіус кола є змінний параметр (рис. 7, а). Можна побудувати однопараметричне сімейство парабол із загальною вершиною на початку координат та загальною віссю симетрії у. Такесімейство задається рівнянням х ^ = 2ру, де р -
змінний параметр (рис. 7, б). Якщо у рівнянні еліпса +
= 1 зафіксувати величину півосі Ь, а величині напів-
Мал. 7. Однопараметричні сімейства кривих другого порядку
ocifa надавати всілякі значення, то отримаємо однопараметричне сімейство еліпсів із загальними вершинами на осі у. При а = 1Ь'іі отримаємо коло. При а з – три ізольованих кривих. Поклавши параметр постійним, а параметр зі змінним, отримаємо відповідне сімейство кривих (рис. 9, і).
Рівняння кривих можна ставити і в полярній системі координат. Однак після дослідження форми кривої, взагалі кажучи, треба складати рівняння кривої в системі декартової координат. Наприклад, рівняння
р* - ар cos 2ф -+=
при а = про відповідає коло, при а з - чотири ізольовані криві. Поклавши параметр постійним, а параметр зі змінним, отримаємо сімейство кривих (рис. 9, к), рівняння якого в декартовій системі координат має вигляд
Крім однопараметричних сімейств кривих можна будувати однопараметричні сімейства обводів.
Конструювання сімейств обводів
Обводом називається крива, складена з кількох дуг кривих різних рівнянь. Як правило, це багатопараметричні криві. Існують способи завдання єдиних рівнянь обводів, що базуються на операції модулювання незалежних змінних та їх функцій. Задавши обвід його рівнянням, ми можемо, як і звичайному, змінювати який-небудь його параметр, отримуючи у своїй сімейство обводів.
Безліч квадратів. Відомо, що рівняння д; +11
4. у2 - 2. дура gQ дура еліпса х ^ +9у ^ = 9г ^; дуга CD - дуга кола х ^ -j - у ^ = 9г ^ і, нарешті, дуга DA - дуга еліпса 9х ^ + = 9г ^.
Якщо врівнянні обводу змінювати параметр г, можна отримати однопараметричне сімейство замкнутих обводів (рис. 10, в). Рівняння > Про відповідає дуга напівеліпса 9х - = 9г з півосями г і Зг; при буд; Про дуга кола 2. рих
i> Про - промінь прямий у = г; при х О, у 1 прагне до першого квадрата, а при р Ьо - до другого квадрата. При р = 2 отримуємо коло, при р = 4 псевдоквадрат (рис. 10, з). Ввівши на розгляд величини
можна показати, що рівняння х' + у' =1 відповідає чотирикутник А (а^. О), В (О, bj), С р>1, відповідають криві, розташовані між чотирикутником і прямокутником. При р 1 крива наближається до чотирикутника ABCD і при р оо - прямокутнику А'В'CD. При р = 2 отримуємо обвід, складений із чотирьох дуг різних еліпсів (рис. 10, і).
Змінюючи параметр а, отримаємо сімейство подібних обводів ABCDE (рис. 10, к). Той самий обвід, якщо початок координат помістити в точку Е, можна розмножити в сімейство подібних обводів, що не перетинаються. За допомогою функції S