Альтернований вузол
У теорії вузлів діаграма вузла або зачеплення єальтернованою, якщо перетину чергуються - під, над, під, над, і т.д., якщо йти вздовж кожної компоненти зачеплення. Зачеплення єальтернованим, якщо воно має альтернативну діаграму.
Багато вузлів з числом перетинів, меншим 10, є альтернованими. Цей факт і корисні властивості альтернованих вузлів, такі як гіпотези Тейта, дозволили деяким дослідникам, включаючи Тейта, скласти таблиці з відносно малим числом помилок або упущень. Найпростіші неальтерновані прості вузли мають 8 перетинів (і є три таких вузли - 819, 820, 821).
Існує гіпотеза, що в міру зростання числа перетинів відсоток неальтернованих вузлів прагне 0 експоненційно швидко.
Альтерновані зачеплення відіграють важливу роль у теорії вузлів і теорії тривимірних різноманіття [en] внаслідок того, що їх доповнення [en] мають корисні та цікаві геометричні та топологічні властивості. І це дозволило Ральфу Фоксу [en] порушити питання: «Що є альтернований вузол?» . Тим самим він запитує, які властивості доповнення вузла, які не пов'язані з діаграмами, можуть характеризувати альтерновані вузли.
Різна геометрична та топологічна інформація відкривається в альтернативних діаграмах. Простоту та розведення [en] зачеплення легко бачити на діаграмі. Число перетинів наведеної альтернативної діаграми є числом перетинів вузла, і це одна із знаменитих гіпотез Тейта.
Альтернована діаграма вузла знаходиться відповідно до одного з планарним графом. Кожне перетин зв'язується з ребром і половина зв'язкових компонентів доповнення діаграми пов'язані з вершинами.
Зміст
- Будь-яка наведена діаграма альтернованого зачеплення має найменше з можливих перетинів.
- Будь-які дві наведені діаграми того ж самого альтернованого вузла мають те саме число закрученості.
- Якщо дані дві наведені діаграми D1 і D2 орієнтованого простого альтернативного зачеплення, D1 може бути перетворено в D2 шляхом послідовності простих рухів, званихперевертанням [en]. Гіпотеза відома також як гіпотеза Тейта про перевертання [2] .
Перші дві гіпотези Тейта довели Морвен Б. Тістлетвейт, Луїс Кауфман і К. Мурасугі в 1987 році, а в 1991 той же Тістлетвейт і Вільям Менаско [en] довели гіпотезу Тейта про перевертання.
Вільям Менаско [en] , застосувавши теорему про гіперболізацію [en] Терстона для різноманіття Хакена [en] , довів, що будь-яке просте нероздільне альтерноване зачеплення є гіперболічним, тобто. доповнення зачеплення має геометрію Лобачевського, якщо тільки зачеплення не є торичним.
Таким чином, гіперболічний обсяг є інваріантом багатьох альтернативних зачеплень. Марк Лакенбі [en] показав, що об'єм має верхні та нижні лінійні межі як функції від числарегіонів перекручуванняна наведеній альтернуючої діаграмі.