Аналітична геометрія
Допоможіть будь ласка ось із таким завданням:
Завдання:Знайти інваріантні точки та інваріантні прямі афінного перетворення x' = 7x - y + 1 y' = 4x + 2y + 4 Система координат афінна.
Рішення:Точки(у)я начебто знайшов: x=7x-y+1 => 6x-y+1=0 (1) y=4x+2y+4 => 4x+y+4=0 (2)
Склав систему з (1) та (2). Отримав: x=-0.5 y=-2
А ось, що вийшло зпрямими: Система (0): x0' = 7x0 - y0 + 1 y0' = 4x0 +2y0 + 4
Система (1): x1' = 7x1 - y1 + 1 y1' = 4x1 +2y1 + 4
Напрямний вектор С= Отримав: x1' - x0' = 7*(x1 - x0) - 1*(y1 - y0) y1' - y0' = 4*(x1 - x0) - 2*(y1 - y0)
Підкажіть, будь ласка, що робити далі? Будувати пряму?
Robot Окей Дякую, що відгукнулися. Чекатиму
А може, просто пасха сьогодні і люди не в Інеті. Ось саме, що у когось Великдень, а у когось Геометрія
А у вас якась теорія, присвячена цій справі, була? Ви так швидко почали, ніби впевнено знаєте шлях, і лише наприкінці постало питання, що робити далі. Я особисто не знаю, що робити далі, бо не знаю вашого шляху та не можу здогадатися, як він може привести до відповіді. Можливо, ви знаєте більше за мене. Я можу лише написати, як би вирішував завдання. Але якщо вас уже вчили, як вирішувати такі завдання, то вам краще почитати свої конспекти, а не мене.
Нехай пряма задана рівнянням ax+by+c=0. Треба дізнатися, якому рівнянню задовольнятиме образ цієї прямої. Для цього звертаємо перетворення, тобто виражаємо (x, y) через (x', y') і підставляємо ці вирази замість x і y рівняння прямої. Отримуємо рівняння щодо x' та y'. Це буде рівняння образу прямої, його коефіцієнти залежить від a,b,c. Тепер, щоб пряма була інваріантною потрібно,щоб ці рівняння задавали ту саму пряму, тобто коефіцієнти образу були б пропорційні числам a,b,c. Таким чином, ви отримаєте умови, що накладаються на a b c, щоб пряма була інваріантна.
Паралельні прямі теж мають однакові напрямні вектори
Міркування Alidoro бездоганні. Я б слідувала їм.
Robot Паралельні прямі теж мають однакові напрямні вектори Ну це мені відомо
Загвоздка в тому, що препод сказала починати вирішувати саме так, як я показав.
Я припускаю, що у випадку з прямими треба використовувати "Образ вектора при лінійному перетворенні" Ще раз можу зізнатися, я вашої логіки не розумію. лінійне та афінне перетворення це різні речі, пряма та вектор теж не одне й те саме. Якщо ви мені поясните ваш метод і викладете докази ваших формул, тоді розмова може бути продовжена.
Ось тут є це завдання у загальному вигляді та відповідь до неї. Звичайно, для її вирішення треба знати теорію. Але за відповіддю до неї ви можете перевірити рішення для вашого окремого випадку.
Моденів. Аналітична геометрія. с. 547
Моє питання: якщо я побудую пряму напрямний вектор, чи вийде інваріантна пряма? Ні, не вийде. Візьміть, наприклад, паралельне зрушення. Всі вектори (будь-яких напрямів) будуть при зрушенні інваріантні, але інваріантними прямими будуть лише прямі, паралельні вектору зсуву. Інші прямі при зрушенні змінюватимуть своє становище.
Alidoro 1) "Образ вектора при лінійному перетворенні" - тут я мав на увазі те, як координати образу вектора виражаються через координати його прообразу, а саме (за формулами, які нам дали):
x1' - x0' = a*(x1 - x0) + b*(y1 - y0) y1' - y0' = a*(x1 - x0) + b*(y1 - y0)
2) Судячи з наведеної вами вирізки: виходить, що в моєму випадку, корені рівняння (1) дійсні, різні і жоден з них не дорівнює 1 = = gt; існують дві і лише дві подвійні прямі. У відповідях до завдання написано: 2x - 2y - 3 = 0 та 4x - y = 0. Тоді як мені знайти їх?