Аналогія та її види в математиці, сторінка 2

Додавання та множення натуральних чисел мають систему однакових властивостей: комутативність складання (множення); асоціативність складання (множення); для натуральних чисел результат операції складання (множення) завжди більший за будь-який доданок (множник); результат складання (множення) двох не рівних нулю чисел завжди можна перевірити за допомогою зворотної операції віднімання (поділу) та інші.

Подібність у властивостях чисел, що діляться на 3 або на 9, дає можливість говорити про атрибутивну аналогію між ознаками ділимості чисел на 3 та 9. Порівняємо: для ділимості на 3 потрібно, щоб сума цифр числа ділилася на 3; Для подільності на 9 потрібно, щоб сума цифр числа ділилася на 9.

Наведемо приклад релятивної аналогії.

Пряма у прямокутній системі координат, що проходить через точку (0; 0), задається рівнянняму=кх.Між координатами точок цієї прямої можна встановити релятивну аналогію. Справді, з рівнянняу=кхотримуємо, що отже, абсцис точки відноситься до її ординаті, як 1 відноситься док.Тоді впорядкована пара чисел, перше з яких удоразів менше другого, аналогічна будь-якій іншій парі впорядкованих чисел, що також задовольняють описуваному відношенню. А це означає, що координати довільної точки прямоїу=кханалогічні координатам будь-якої іншої точки цієї прямої.

Зауважимо, що даний приклад характеризується пропорцією Тоді між парою чисела -bі пароюс-dіснує аналогія, заснована на рівності відносин між цими числами. Н.В. Воробйов говорить про такий вид аналогії, як про окремий випадок аналогії відносин. Наприклад, «система двох чисел 6 та 9 аналогічна системі чисел 10 та 15, оскільки можна скластинаступну пропорцію» [2. С. 16].

Якщо основою покласти види тотожностей, що у математиці, і знайти їм аналогію, можна виділити шість її основних видів у математиці: аналогія застосування, аналогія узагальнення, аналогія контакту, гранична аналогія, аналогія перетворень, тривіальна аналогія. Характеристики цих видів аналогії та відповідні приклади наведені у навчальному посібнику [7]. Однак аналогію подібного роду можна встановити і між об'єктами, які не є тотожними з погляду математики. Тому ми вважаємо, що наведені вище шість типів аналогії доцільно доповнити ще одним типом – аналогією протилежностей.

Якщо в парі об'єктів, що розглядається, встановлення будь-якої властивості одного об'єкта дає можливість говорити про протилежну (взаємозворотну) властивість іншого об'єкта, то можна говорити про аналогію між цими об'єктами - аналогію протилежностей.

Наприклад, така аналогія існує між процесами нагрівання та охолодження. Так, відповідно, збільшується або зменшується швидкість руху атомів, розширюються або стискаються фізичні тіла, підвищується або знижується тиск рідини в закритій посудині, збільшується або зменшується опір провідника електричного струму та ін. Практично завжди об'єкти, що протиставляються, мають і однакову систему властивостей. Так, або сильно нагріті, або сильно охолоджені тіла, викликають однакову реакцію людського організму - опік. Тепло, як і холод, фокусується, передається при контакті від тіла до іншого.

У математиці об'єкти, між якими можна встановити аналогію протилежностей, часто розглядають спільно. У цьому виділяють як загальні властивості об'єктів, і протилежні. Наприклад, аналогіюпротилежностей можна встановити між взаємозворотними функціями f(х)=ln x таg(x)=e x.

Для функційf(x)=logaXтаg(x)=a xхарактерна спільність у властивостях, пов'язаних із зміною параметраа.Найчастіше говорять про інтервали монотонності: якщо0 1,то функціїf(x)іg зростають по всій області визначення.

Таким чином, можна виділити сім видів аналогії, і така типологія ґрунтуватиметься на видах тотожностей, що існують у математиці.

Крім наведених типологізацій аналогії, існують інші способи її поділу на види. Покажемо найпоширеніші. Одну з них можна охарактеризувати наступною схемою (рис. 1).

Тоді, залежно від напрямку виведення, можна виділити два види аналогії. У літературі [8, 9] такі види аналогії називають простою та поширеною аналогією.

Проста аналогія характеризується тим, що за схожістю об'єктів у деяких ознаках укладають про їхню схожість в інших ознаках. Поширена аналогія характеризується тим, що з подібності явищ роблять висновок про схожість причин.

Іноді виділення видів аналогії засноване на логічній цінності знання, отриманого з її допомогою, і тоді поділ ставиться у прямий зв'язок з умовами правомірності виведення за аналогією [4]. У цьому випадку розгляд суворої та не суворої аналогії відповідатиме вивченню дедуктивної та індуктивної аналогії.

Як окремий випадок дедуктивної аналогії виділимо поняття ізоморфізму Ізоморфізм є суворо фіксоване відношення об'єктів, що співставляються, між якими існує взаємно однозначна відповідність елементів, зв'язків і властивостей. В силу властивості симетричності ізоморфізму властивості, встановлені для кожного з досліджуванихоб'єктів, можуть бути перенесені на інший, ізоморфний об'єкт. Д. Пойа говорить про ізоморфізм як випадок, у якому аналогія досягає точності математичного поняття [10. С. 51].

Наприклад, взаємно однозначна відповідність між безліччю пар дійсних чисел і безліччю радіус-векторів у прямокутній системі координат дозволяє досліджувати властивості операції складання радіус-векторів за допомогою дослідження аналогічної операції на множині пар дійсних чисел.

Поряд з поняттям ізоморфізму зустрічається поняття гомоморфізму, яке вважається більш загальним, ніж ізоморфізм, оскільки гомоморфізм не вимагає взаємно однозначної відповідності елементів порівнюваних систем. Тому при дослідженні об'єктаАта гомоморфного йому об'єктаВвластивості об'єктаАз достовірністю можна переносити на об'єктВ,проте не можна стверджувати, що властивості, встановлені для об'єкта,будуть виконуватися і для об'єкта Л (хоча це можливо).

Розглянемо приклад, у якому об'єктомАбуде тетраедр, об'єктомВ- трикутник, а центральне проектування просторових тіл на площину -гомоморфним відображенням.

АлтДТУ 419
АлтДУ 113
АмПГУ 296
АГТУ 266
БІТТУ 794
БДТУ «Воєнмех» 1191
БДМУ 172
БДТУ 602
БДУ 153
БДУІР 391
БелДУТ 4908
БДЕУ 962
БНТУ 1070
БТЕУ ПК 689
БрДУ 179
ВНТУ 119
ВГУЕС 426
ВлДУ 645
ВМедА 611
ВолгДТУ 235
ВНУ ім. Даля 166
ВЗФЕД 245
ВятГСХА 101
ВятДГУ 139
ВятДУ 559
ГГДСК 171
ГомГМК 501
ДДМУ 1967
ДДТУ ім. Сухого 4467
ДМУ ім. Скорини 1590
ДМА ім.Макарова 300
ДДПУ 159
ДальГАУ 279
ДВДГУ 134
ДВДМУ 409
ДВГТУ 936
ДВГУПС 305
ДВФУ 949
ДонДТУ 497
ДІТМ МНТУ 109
ІвДМА 488
ІДХТУ 130
ІжДТУ 143
КемГППК 171
КемДУ 507
КДМТУ 269
КіровАТ 147
КДКСЕП 407
КДТА ім. Дегтярьова 174
КНАГТУ 2909
КрасГАУ 370
КрасДМУ 630
КДПУ ім. Астаф'єва 133
КДТУ (СФУ) 567
КДТЕІ (СФУ) 112
КПК №2 177
КубДТУ 139
КубДУ 107
КузДПА 182
КузДТУ 789
МДТУ ім. Носова 367
МДЕУ ім. Сахарова 232
МГЕК 249
МДПУ 165
МАІ 144
МАДІ 151
МДІУ 1179
МГОУ 121
МДСУ 330
МДУ 273
МГУКІ 101
МГУПД 225
МГУПС (МІІТ) 636
МГУТУ 122
МТУСІ 179
ХАІ 656
ТПУ 454
НДУ МЕІ 641
НМСУ «Гірський» 1701
ХПІ 1534
НТУУ «КПІ» 212
НУК ім. Макарова 542
НВ 777
НДАВТ 362
НДАУ 411
НДАСУ 817
НДМУ 665
НДПУ 214
НДТУ 4610
НГУ 1992
НГУЕУ 499
НДІ 201
ОмДТУ 301
ОмГУПС 230
СПбПК №4 115
ПГУПС 2489
ПДПУ ім. Короленка 296
ПНТУ ім. Кондратюка 119
РАНХіГС 186
РОАТ МІІТ 608
РТА 243
РДДМУ 118
РДПУ ім. Герцена 124
РДППУ 142
РДСУ 162
«МАТІ» — РДТУ 121
РГУНіГ 260
РЕУ ім. Плеханова 122
РДАТУ ім. Соловйова 219
РязГМУ 125
РДРТУ 666
СамДТУ 130
СПбДАСУ 318
Інжекон 328
СПбГІПСР 136
СПбГЛТУ ім. Кірова 227
СПбДМТУ 143
СПбГПМУ 147
СПбДПУ 1598
СПбГТІ (ТУ) 292
СПбДТУРП 235
СПбДУ 582
ГУАП 524
СПбГУНіПТ 291
СПбГУПТД 438
СПбГУСЕ 226
СПбГУТ 193
СПГУТД 151
СПбГУЕФ 145
СПбГЕТУ «ЛЕТИ» 380
ПІМаш 247
НДУ ІТМО 531
СДТУ ім. Гагаріна 114
СахДУ 278
СЗТУ 484
СибАГС 249
СибДАУ 462
СибДІУ 1655
СибДТУ 946
СГУПС 1513
СібГУТІ 2083
СибУПК 377
СФУ 2423
СНАУ 567
СумДУ 768
ТРТУ 149
ТОГУ 551
ТДЕУ 325
ТДУ (Томськ) 276
ТДПУ 181
ТулДУ 553
УкрДАЖТ 234
УлДТУ 536
УІПКПРО 123
УрДПУ 195
УГТУ-УПІ 758
УГНТУ 570
УДТУ 134
ХДАЕП 138
ХДАФК 110
ХНАГГ 407
ХНУВС 512
ХНУ ім. Каразіна 305
ХНУРЕ 324
ХНЕУ 495
ЦПУ 157
ЧитДУ 220
ЮУрДУ 306

Повний список ВНЗ

Щоб надрукувати файл, скачайте його (у форматі Word).