Властивість 1: База лінійної незалежної системи збігається з нею самою.
Приклад: "title=" e_= " /> " title="e_= " /> " title="e_= " /> - " title=" - " /> Система лінійно незалежних векторів, оскільки жоден із векторів не може бути лінійно вироджений через інші.
Властивість 2:(Критерій Бази) Лінійно незалежна підсистема даної системи є її базою і тоді, коли вона максимально лінійно незалежна.
Доказ: Дана системаНеобхідність Нехай база . Тоді за визначенням і, якщо , де система лінійно залежна, так як лінійно вироджується через , отже максимально лінійно незалежна.Достатність Нехай максимально лінійно незалежна підсистема, тоді де . лінійно залежна лінійно вироджується через отже база системи.
Властивість 3:(Основна властивість бази) Кожен вектор системи вироджується через базу єдиним чином.
Доказ Нехай вектор вироджується через базу двома способами, тоді:
Визначення: Рангом ненульової системи векторів лінійного простору називається число векторів її бази. Ранг нульової системи визначення дорівнює нулю.
Властивості рангу: 1) Ранг лінійно незалежної системи збігається з числом її векторів. 2) Ранг лінійно залежної системи менший за кількість її векторів. 3) Ранги еквівалентних систем збігаються - rank rank. 4) Ранг під системи менше або дорівнює рангу системи. 5) Якщо і rank rank , тоді і мають спільну базу. 6) Ранг системи не змінити, якщо вїї додати вектор, що є лінійною комбінацією інших векторів системи. 7) Ранг системи не змінити, якщо з неї видалити вектор, що є лінійною комбінацією інших векторів.
Для знаходження рангу системи векторів потрібно використовувати метод Гаусса і привести систему до трикутної або трапецієподібної форми.
Приклад:
Перетворимо дані вектора на матрицю для знаходження бази. Отримаємо:
Тепер за допомогою методу Гауса перетворюватимемо матрицю до трапецеїдального вигляду:
1) У нашій основній матриці, будемо анулювати весь перший стовпець крім першого рядка від другого віднімемо першу помножену на , від третього віднімемо першу помножену на , а від четвертої ми нічого не будемо віднімати так як перший елемент четвертого рядка, тобто перетин першого стовпця і четвертого рядка, дорівнює нулю. Отримаємо матрицю:
2) Тепер у матриці, поміняємо місцями рядки 2, 3 і 4 для простоти рішення, щоб на місці елемента була одиниця. Четвертий рядок поміняємо поставимо замість другого, другого замість третього і третього на місце четвертого. Отримаємо матрицю:
3) У матриці анулюємо всі елементи під елементом. Оскільки знову елемент нашої матреці дорівнює нулю, ми нічого не віднімаємо від четвертого рядка, а до третього додамо другий помножений на . Отримаємо матрицю:
4)Знову поміняємо в матриці рядка 3 та 4 місцями. Отримаємо матрицю:
5) У матриці додамо до черв'ятого рядка третій, помножений на 5. Отримаємо матрицю, яка матиме трикутний вигляд:
Системи , їх ранги збігаються з властивостей рангу та їх ранг дорівнює rank rank
Зауваження: 1) На відміну від традиційного методу Гауса, якщо в рядку матриці всі елементи поділяються на певну кількість, ми не маємо права скорочуватирядок матриці через дію властивостей матриці. Якщо ми захочемо скоротити рядок на певне число, доведеться скорочувати всю матрицю цього числа. 2) У разі, якщо ми отримаємо рядок, що лінійно залежить, ми можемо його прибрати з нашої матриці і замінити на нульовий рядок.Приклад: Відразу видно, що другий рядок виражається через перший, якщо домножити перший на 2. У тій разі можемо замінити весь другий рядок на нульовий. Отримаємо:
У результаті, привівши матрицю, або до трикутного, або до трапецеїдального вигляду, де у неї немає лінійно залежних векторів, всі не нульові вектори матриці і будуть базою матриці, а їх кількість рангом.
Ось так само приклад системи векторів як графіка: Дана система " title="S= " /> де , , і . Базою даної системи очевидно буду вектора і , оскільки через них виражаються вектори . графічному вигляді матиме вигляд:
|