БЕМОЛЬНА ФОРМА

Розстановка наголосів: БЕМО'ЛЬНА ФО`РМА

БЕМОЛЬНА ФОРМА - вимірна r-вимірна диференціальна форма ω на відкритій множині R ⊂ E n така, що:

для будь-якого симплексу σ r + 1 , що задовольняє умові: існує вимірна Q ⊂ R, R\Qn = 0 така, що з вимірна на σ r + 1 і на будь-якій з його граней σ r , що становлять ∂σ r + 1 , причому

тут Ms означає s-вимірну - міру Лебега перетину множини М з деякою s-вимірною площиною.

Якщо X є r-вимірний бемольний коцеп в R, то існує обмежена r-вимірна форма ωX в R, вимірна в будь-якому симплексі r відносно площині, що містить r , і

де X - комаса коцепі X. Назад, будь-який r-вимірний Би. ф. ω в R відповідає за формулою (1) єдиний r-вимірний бемольний коцепь Xω для будь-якого симплекса σ r , що задовольняє вищезгадану умову, причому

Форма і коцепь X зв. асоційованими. Форми, асоційовані з одним і тим самим коцепью, еквівалентні, т. е. рівні майже всюди R, і серед них є бемольний представник.

Між n-вимірними бемольними коцепями X і класами еквівалентних вимірних обмежених функцій φ(р) існує взаємно однозначна відповідність, при до-ром ωX = φ(р) dp, а

де - ω1, ω2, . - послідовність n-вимірних симплексів, що стягуються до точки р так, що їх діаметри → 0, але

при деякому η для всіх i, σi - обсяг σ1 .

Нехай α (р) - вимірна підсумована функція R, значеннями до-рой є r-вектори; вона зв. відповідного r-мірного бемольного ланцюга А, якщо

для всіх r-вимірних бемольних коцепей X (і тоді A наз. лебеговим ланцюгом). Відображення α → А є лінійним взаємно однозначним відображенням безлічі класів еквівалентності функцій α(р) у простір бемольних ланцюгів Cr(R), причому A = ∫R α 0, де A -маса ланцюга А, 0 - маса r-вектора (р). Крім того, безліч образів безперервних функцій щільно в Cr (R).

Подання (1) та (2) узагальнюють аналогічні результати для дієзних форм та дієзних коцепів; напр., диференціал Би. ф. ωX, який визначається формулою dωX = ωdXω є також Б. ф., і виконана теорема Стокса: ∫∂σ ω = ∫σ dω для будь-якого симплексу σ; r-вимірний бемальний коцеп - слабка межа гладких коцепів, тобто таких, для яких брало асоційовані форми ω є гладкими, і т. д.

Літ. : [1] Вітні X., Геометрична теорія інтегрування, пров. з англ., М., 1960.

М. І. Войцеховський.

  1. Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.