Бінарні відносини - Приклади розв’язування задач - Розв’яжемо задачі, контрольні, курсові
Кожне бінарне (двомісне) ставлення характеризується властивостями рефлексивності, симетричності та транзитивності. Повна чи часткова відсутність цих властивостей щодо відбивається у тому найменуванні приставками відповідно " анти " і " не " . Певним поєднанням цих базових властивостей надано свої спеціальні найменування; наприклад, антисиметричне та антирефлексивне відношення називається асиметричним.
Властивість рефлексивності розглядається для одного елемента множини.
Відношення називається рефлексивним, якщо для будь-якого предмета з його визначення має місце це відношення предмета до самого себе. Відношення ровесник, визначене на . Дивитись рішення »
- Перетин. Перетином двох бінарних відносин (σ і ρ) є відношення, яке визначається перетином відповідних підмножин. Очевидно, що відношення σ∩ρ можна здійснити тільки в тому випадку, коли деякі x і y пов'язані як першим, так і другим ставленням (xσy і xρy ).
Наприклад, перетином відносини "не менше" і "не одно" є відношення "більше".
xσy ⟺ x ≥ y, xρy ⟺ x ≠ y, тоді σ∩ρ ⟺ x>y.
- Об'єднання. Об'єднанням двох бінарних відносин (σ і ρ) є відношення, яке визначається об'єднанням відповідних підмножин. Відношення σ∪ρ можна здійснити тільки в тому випадку, коли деякі x і yпов'язані хоча б одним із двох відносин хоча б одне з відносин (xσy або xρy).
Приклади бінарних відносин:
- на багатьох цілих чисел Z відношення «ділиться», «ділить», «рівно», «більше», «менше», «взаємно прості»;
- на безлічі прямих просторів відносини «паралельні», «взаємно перпендикулярні», «схрещуються»,"перетинаються", "збігаються";
- на безлічі кіл площини «перетинаються», «стосуються», «концентричні».
Визначення 1. Декартовим твором множин X і Y називається безліч XxY всіх упорядкованих пар (x, y) таких, що x∈ X, y∈ Y.