Будилін Лекції з математики
Загальну теорему Стокса ми сформулюємо для різноманіття, що орієнтуються, з краєм, що допускають клітинне розбиття.
Нагадаємо, що k-мірними клітинами A R n ми називали образи k-мірного куба J k при взаємно однозначних і безперервно диференційованих відображення ϕ, визначених на околицях цього куба.
Визначення 14.7. Клітина A = ϕ(J k ) називається клітиною у різноманітті M (з краєм чи без), якщо відображення ϕ (визначене на околиці куба J k ) є картою різноманіття M.
Визначення 14.8. Говорять, що різноманіття M (з краєм) допускає клітинне розбиття, якщо виконані такі умови.
1. M = A i , де A i клітини.
2. Перетину A i ∩ A j або порожні або є об'єднаннями загальних граней 18 клітин A i і A j .
18 грань клітини - образ грані куба
Кратні інтеграли Інтеграли на різноманіттях
Предметний покажчик Література
Сторінка 213 з 245
Інтеграли на різноманіттях
Сторінка 214 з 245
Мал. 33: Різноманітність із краєм
Якщо B — (k − 1)-мірна грань клітини A розбиття, або вона належить лише цій одній клітині (даного розбиття), або є загальною гранню двох клітин (A і A e ). У першому випадку грань називається зовнішньою гранню, у другому - внутрішньою. Об'єднання всіх зовнішніх граней становить край ∂M різноманіття M. Якщо різноманіття орієнтоване, то внутрішня грань матиме різні орієнтації, узгоджені з орієнтаціями клітин, що містять її. Орієнтація зовнішніх клітин індукує орієнтацію всього краю ∂M, узгоджену з орієнтацією різноманіття M, при цьому узгоджена орієнтація краю не залежить від розбиття, оскільки вона може бути визначена інваріантнимчином вибором базису дотичних векторів до краю: дотичний репер 1, . . . τ k−1 задає узгоджену орієнтацію краю, якщо репер n, τ 1 . . . τ k−1 , де n — вектор внутрішньої нормалі до ∂M визначає орієнтацію M, протилежну вихідній.
Як і в двовимірному випадку, ми тепер легко можемо довести теорему:
Теорема 14.9 (Стокса). Нехай ω - диференціальна форма на зв'язному орієнтованому різноманітті M з краєм, що припускає клітинне розбиття. Тоді
за умови, що край ∂M орієнтований узгоджено.
Доведення. В силу адитивності інтегралу, теореми Стокса для клітини та скорочення поверхневих інтегралів по внутрішнім граням знаходимо