Читати онлайн Математичні головоломки та розваги автора Гарднер Мартін - RuLit - Сторінка 82
Методом ковзної сірника можна скористатися як підтвердження правильності всіх згадуваних вище теорем, так знайти нових. Він служить зручним способом вимірювання кутів будь-яких багатокутників, у тому числі і зірчастих, і багатокутників з будь-якими складними самоперетинами. Так як сірник при поверненні у вихідне положення має напрямок, або збігається з початковим, або протилежний йому, сума описаних нею кутів (зрозуміло, за умови, що сірник завжди повертається в тому самому напрямку) завжди кратна розгорнутому кутку. Якщо ж сірник, описуючи кути, може повертатися в обидві сторони, як це часто буває у випадку багатокутників, що самоперетинаються, то отримати суму кутів виявляється неможливим, хоча можна сформулювати деякі інші теореми. Наприклад, якщо сірник ковзає по периметру багатокутника, що самоперетинається, зображеного на рис. 195, то вона повертатиметься за годинниковою стрілкою у всіх кутах А і проти годинникової стрілки у всіх кутах В.
Мал. 195Сума кутів цього самопересікаючого багатокутника, позначених буквою А, дорівнює сумі його кутів, позначених буквою В.
Таким чином, ми не можемо отримати суму всіх восьми кутів цього багатокутника, але можемо стверджувати, що сума кутів А дорівнює сумі кутів В. Наш висновок неважко перевірити, вирізавши багатокутник з паперу і відрізавши всі його кути або надавши суворий геометричний доказ.
Відома 47-а теорема Евкліда-теорема Піфагора-допускає багато витончених доказів за допомогою ножиць. Ми наведемо лише один чудовий доказ, відкритий у минулому столітті Генрі Перігелом, лондонським біржовим маклером та астрономом-аматором. Побудуйте квадрати на катетах будь-якого прямокутного трикутника (рис. 196).
Мал. 196Доказ теореми Піфагора за допомогою аркуша паперу та ножиць.
Розділіть великий квадрат (або будь-який із квадратів, якщо прямокутний трикутник рівнобедрений) на чотири однакові частини, провівши через центр квадрата дві взаємно перпендикулярні прямі, одна з яких паралельна до гіпотенузи трикутника. Виріжте з аркуша паперу частини більшого квадрата та менший квадрат. Не змінюючи їхньої орієнтації на площині, вирізані частини можна пересунути так, що вони становитимуть один великий квадрат (на рис. 196 цей квадрат показаний пунктиром), побудований на гіпотенузі.
Розрізання багатокутників на частини та складання з останніх нових багатокутників належить до найбільш захоплюючих областей цікавої математики. Доведено, що будь-який багатокутник можна розрізати на кінцеве число частин, що утворюють будь-який інший багатокутник, рівновеликий першому, але розрізання фігур цікавить лише в тих випадках, коли кількість частин досить мало, щоб метаморфоза вражала уяву глядачів. Хто міг передбачити, що правильну шестикутну зірку можна розрізати лише п'ять частин, у тому числі складається квадрат (рис. 197)?
Мал. 197Як потрібно розрізати правильну шестикутну зірку для того, щоб її можна було перетворити на квадрат.
(Для того, щоб скласти квадрат із частин п'ятикутної зірки, її потрібно розрізати не менше ніж на вісім частин.) Провідним фахівцем з розрізання геометричних фігур, мабуть, вважається австралієць Гаррі Ліндгрен. На рис. 198 показаний спосіб розрізання правильного дванадцятикутника, з частин якого складається квадрат.
Мал. 198Як розрізати правильний дванадцятикутник, щоб з його частин скластиквадрат.
Існує ще один зовсім інший клас розваг, також пов'язаний з вирізанням з паперу, але знайомий більше фокусникам, ніж математикам: аркуш паперу спочатку кілька разів складають, потім роблять один-єдиний прямий розріз і, розгорнувши, показують глядачам той чи інший дивовижний результат.
Наприклад, розгорнутий аркуш паперу може мати форму правильного багатокутника або складнішої геометричної фігури, в ньому може з'явитися отвір настільки ж химерної форми і т.п.
Фокусникам добре відомий незвичайний фокус із одним розрізом під назвою «двоколірний розріз». Квадратний шматок клітинної тканини розміром вісім клітин на вісім, що нагадує звичайну шахівницю (клітини можуть бути, наприклад, червоними і чорними), певним чином складають і виробляють один розріз ножицями. У результаті червоні квадрати виявляються відокремленими від чорних, а вся дошка — розрізаною на окремі квадрати. Взявши лист кальки (тонкий папір дозволить нам бачити контури клітин, навіть коли він буде складений у кілька разів), неважко намітити лінію розрізу для цього фокусу та способи вирізування простих геометричних фігур. Вирізання більш складних візерунків представляє досить складне завдання.
Старий фокус невідомого походження, також пов'язаний із розрізанням аркуша паперу, показано на рис. 199.
Мал. 199Старий фокус із розрізанням аркуша паперу.