Ціле число алгебри
Цілими алгебраїчними числаминазиваються комплексні (і, зокрема, речові) корені багаточленів з цілими коефіцієнтами та зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці.
По відношенню до складання та множення комплексних чисел, цілі числа алгебри утворюють кільце Ω . Очевидно, Ω є підкільцем поля чисел алгебри і містить всі звичайні цілі числа.
Нехай u - деяке комплексне число. Розглянемо кільце Z[u][u]> , породжене додаванням u до кільця звичайних цілих чисел Z> . Воно утворене всілякими значеннями f(u), де f(z) - багаточлен з цілими коефіцієнтами. Тоді має місце наступний критерій: число u є цілим числом алгебри тоді і тільки тоді, коли Z [ u ] [u] & gt; - Породжена абелева група.
Зміст
- Гаусові цілі числа.
- Коріння з одиниці – коріння багаточлена x n − 1 -1> над полем комплексних чисел.
- Усі раціональні числа, що входять у Ω є цілими числами. Інакше кажучи, жодна нескоротний дріб m / n зі знаменником, більшим одиниці, цілим числом алгебри бути не може.
- Для кожного числа алгебраїчного u існує натуральне число n таке, що n u — ціле число алгебри.
- Корінь будь-якого ступеня з цілого числа алгебри теж є цілим числом алгебри.
Теорію цілих алгебраїчних чисел створили ХІХ столітті Гаусс, Якобі, Дедекінд, Куммер та інші. Інтерес до неї був зокрема викликаний тим, що історично ця структура виявилася першою в математиці, де було виявлено неоднозначне розкладання на прості множники. Класичні приклади збудував Куммер; скажімо, в підкільці цілих чисел алгебри виду a + b − 5 >> мають місце 2 розкладання:
причому в обох випадках всі множники - прості, тобто нерозкладні в цьому підкільці.
Дослідження цієї проблеми призвело до відкриття важливих понять ідеалу та простого ідеалу, у структурі яких розкладання на прості множники стало можливим визначити однозначно.