Cos x, функція косинус х

Урок та презентація на тему: "Функція y=cos(x). Визначення та графік функції"

Що вивчатимемо:1. Визначення. 2. Графік функції. 3. Властивості функції Y = cos (X). 4. приклади.

Визначення функції косинуса у = cos (x)

Діти, ми вже познайомилися з функцією Y = sin (X).

Згадаймо одну з формул привида: sin(X + π/2) = cos(X).

Завдяки цій формулі ми можемо стверджувати, що функції sin(X + π/2) і cos(X) тотожні, і їх графіки функцій збігаються.

Графік функції sin(X + π/2) виходить із графіка функції sin(X) паралельним перенесенням на π/2 одиниць вліво. Це буде графік функції Y=cos(X).

Графік функції Y=cos(X) також називають синусоїдою.

Властивості функції cos(x)

Область визначення – безліч дійсних чисел.
Функція парна. Згадаймо визначення парної функції. Функція називається парною, якщо виконується рівність y(-x)=y(x). Як пам'ятаємо з формул привида: cos(-x)=-cos(x), визначення виконалося, тоді косинус – парна функція.
Функція Y=cos(X) зменшується на відрізку [0; π] і зростає на відрізку [π; 2π]. У цьому вся ми можемо переконатися на графіку нашої функції.
Функція Y=cos(X) обмежена знизу та зверху. Ця властивість випливає з того, що -1 ≤ cos(X) ≤ 1
Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = π + 2πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при x = 2πk).
Функція Y=cos(X) є безперервною функцією. Подивимося на графік і переконаємося, що наша функція не має розривів, це означає безперервність.
Область значень відрізок [-1; 1]. Це також добре видно із графіка.
ФункціяY = cos (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція приймає ті самі значення через деякі проміжки.

Приклади з функцією cos(x)

1. Розв'язати рівняння cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Рішення: Побудуємо 2 графіки функції: y=cos(x) і y=(x - 2π) 2 + 1 (див. рисунок).

2 + 1" title="Графіки функції y=cos(x) та y=(x - 2π) 2 + 1 " style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" /> y=(x - 2π) 2 + 1 - це парабола, зміщена вправо на 2π і вгору на 1. Наші графіки перетинаються в одній точці А(2π;1), це і є відповідь: x = 2?

2. Побудувати графік функції Y=cos(X) за х ≤ 0 та Y=sin(X) за x ≥ 0

Рішення: Щоб побудувати необхідний графік, давайте збудуємо два графіки функції по "шматочкам". Перший шматочок: y=cos(x) при х ≤ 0. Другий шматочок: y=sin(x) при x ≥ 0. Зобразимо обидва "шматочки" на одному графіку.

3. Знайти найбільше та найменше значення функції Y=cos(X) на відрізку [π; 7π/4]

Рішення: Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок [π; 7π/4]. На графіку видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка: у точках π та 7π/4 відповідно. Відповідь: cos(π) = -1 – найменше значення, cos(7π/4) = найбільше значення.

4. Побудувати графік функції y=cos(π/3 - x) + 1

Рішення: cos(-x)= cos(x), тоді шуканий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y=cos(x) на π/3 одиниць вправо та 1 одиницю вгору.

Завдання для самостійного вирішення

1) Вирішити рівняння: cos (x) = x - π / 2. 2) Розв'язати рівняння: cos(x)= - (x – π) 2 - 1. 3) Побудувати графік функції y=cos(π/4 + x) - 2. 4) Побудувати графік функції y=cos(-2π/3 + x) + 1. 5) Знайти найбільше танайменше значення функції y=cos(x) на відрізку [0; 5π/3]. 6) Знайти найбільше та найменше значення функції y=cos(x) на відрізку [- π/6; 5π/4].