ДЕДУКЦІЯ ТА ІНДУКЦІЯ В НАВЧАЛЬНОМУ ПРОЦЕСІ
Як у процесі мислення (наукового чи повсякденного), і у процесі навчання дедукція і індукція взаємопов'язані. «Індукція та дедукція пов'язані між собою так само необхідним чином, як синтез та аналіз. Замість того щоб односторонньо звеличувати одну з них до небес за рахунок іншої, треба намагатися застосовувати кожну на своєму місці, а цього можна досягти лише в тому випадку, якщо не забувати їх зв'язок між собою, їх взаємне доповнення один одного »7. Індукції ми йдемо від посилок, що виражають знання меншого ступеня спільності, до нового судження більшого ступеня спільності, від окремих конкретних явищ до узагальнення. У дедукдії перебіг міркування протилежний, тобто від узагальнень, висновків ми йдемо до окремих конкретних фактів або міркувань меншого ступеня спільності.
У процесі навчання індуктивний та дедуктивний методи використовуються в єдності. Індуктивний метод використовується тоді, коли вивчається новий матеріал, важкий для учнів, і коли в результаті розмови вони зможуть зробити певний висновок, узагальнення, сформулювати правило, теорему або деяку закономірність. Індуктивний метод більшою мірою активізує учнів, проте вимагає від вчителя творчого підходу та гнучкості у викладанні. У цьому витрачається більше часу підведення учнів до самостійного висновку.
К. Д, Ушинський високо цінував застосування індукції щодо граматики. На спеціально підібраних прикладах він розвивав в дітей віком вміння помічати закономірності мови й робити самостійні узагальнення, формулювати правила, що мало велике значення у розвиток мислення молодших школярів. Дедукцію Ушинський цінував не менше індукції і велику роль у навчанні мови відводив наступним вправам, спрямованим на підшукання самими учнямиприкладів на щойно сформульоване правило. Відомий радянський методист А.В. можуть бути використані обидва шляхи; вивчення правил постановки розділових знаків при однорідних членах краще проводити дедуктивно-індуктивним способом 9 . Ці ж прийоми використовуються не тільки на уроках рідної мови, але й на уроках математики, історії, фізики та ін.
У математиці є багато прихильників як індуктивного, так і дедуктивного методу. Наприклад, Л. Д. Кудрявцев вважає, що «на перших етапах навчання треба віддавати перевагу індуктивному методу, поступово готуючи і використовуючи дедуктивний підхід» 10 бо індуктивні методи викладу матеріалу, при яких відбувається послідовне узагальнення понять, сприяють більш активному засвоєнню матеріалу. Далі він зазначає: «В останні роки спостерігається прагнення замінювати наскільки можна індуктивний підхід дедуктивним, доцільність цього часто видається сумнівною» 11 .
Однак як при індуктивному, так і при дедуктивному методі при викладанні нових понять або нових загальних теорій необхідно відводити значний час на конкретні ілюстрації, на аналіз прикладів, аналіз приватних ситуацій. Від самого вчителя залежить оптимальний вибір методів, що дозволяє високому рівні самостійності організувати пізнавальну діяльність учнів.
Уматематики використовуються різні види індукції: повна, неповна та математична. Застосування математичної індукції покажемо на прикладі. Треба визначити суму перших непарних чисел:
1+3+5+7+. + (2n-1) 12 .
Позначивши цю суму черезS(n), покладемоn= 1, 2, 3, 4, 5; тоді матимемо:
S(4) = 1 +3 + 5 + 7 = 16,
S(5) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
Ми спостерігаємо цікаву закономірність: приn= 1, 2, 3, 4, 5 сума л послідовних непарних чисел дорівнюєn 2 .Але висновок за аналогією, що це має місце за будь-якого л , Зробити не можна, бо воно може виявитися помилковим. Застосуємо метод математичної індукції, т. е. припустимо, що з якогось числа л наша формула вірна, і спробуємо довести, що вона вірна й у наступного числаn+1. Отже, ми вважаємо, що S (n)-1 + 3 + 5 + . + (2n-1)=n2 . ОбчислимоS(n+1)=1+3 + 4+ 5 +. +(2n-1) + (2n+1). Але за припущенням сумаnперших доданків дорівнює л 2, отже,S(n+1) =n2 + (2n+ 1) = (n+1) 2 .Отже, припустивши, щоS(n)— n 2 ,ми довели, щоS(n+1) = (n+1) 2 . Але ми перевірили вище, що ця формула вірна дляn= 1, 2, 3, 4, 5, отже, вона буде вірна і дляn=6) і дляn=7і т. д. Формула вважається доведеною для будь-якого числа доданків.
Цим методом доводиться, що сумаnперших натуральних чисел, позначенаS1(n),дорівнює тобто.
У математичному мисленні присутні як логічні міркування, а й математична інтуїція, фантазія і почуття гармонії, що дозволяють передбачити хід вирішення завдання чи доказитеореми. Однак у математиці, пише Л. Д. Кудрявцев, «інтуїтивні міркування та правдоподібні міркування віддаються на суд холодного розуму для їх вивчення, доказу чи спростування». Істинність судження там доводиться «не перевіркою його ряді прикладів, не проведенням низки експериментів, що має для математики доказової сили, а суто логічним шляхом, за законами формальної логіки» 14 . У ході навчання математики передбачається, що «використання знань, математичного апарату, інтуїції, почуття гармонії, фантазії, уміння думати, логіки, експерименту відбувається не послідовно за етапами — це взаємодіє між собою протягом усього процесу. » 15 . Внаслідок цієї взаємодії у учнів вузів та середніх навчальних закладів формується, виховується математична культура. Отже, єдність дедукції та індукції у навчанні та у науковій творчості своєрідно та яскраво проявляється у математиці — науці, що значно відрізняється від природничих та від суспільних наук як за методами доказу, так і за методикою передачі знань учням.
У ході навчання математиці учні набувають здатності до згортання процесу математичного міркування при вирішенні завдань знайомого типу — про це писали ще відомі українські методисти С. І. Шохо-Троцький (1916 р.) та Ф. А. Ерн (1915 р.) . Вони зазначали, що «при багаторазовому вирішенні однотипних завдань учнями окремі етапи розумового процесу скорочуються і перестають усвідомлюватися, але, коли потрібно, учень може повернутися до повного розгорнутого міркування» 16 . Методисти-математики П.А.Діяльність школярів при вирішенні завдань займають певне місце і згорнуті умовиводи, коли учень не усвідомлює правила загального становища, відповідно до яких він фактично діє. не виконує всього того ланцюга міркувань і висновків, які утворюють повну, розгорнуту систему рішення» 17 . Скорочення процесу міркування виникає завдяки вправам, причому здатні до математики учні переходять до згорнутих міркувань швидко, середні — повільніше, у нездатних не помічалося скільки-небудь помітного згортання навіть у результаті багатьох вправ. В. А. Крутецький висловлює таку гіпотезу: «Взагалі ніколи і ніде, мабуть, людина не мислить остаточно розгорнутими структурами» 18 . Проте здібні учні мислять згорнутими структурами, скороченими висновками під час вирішення як однотипних, а й нових завдань; при цьому на прохання експериментатора ці учні відновлювали згорнуті структури до повної (з їхньої точки зору) структури. «Згорнуті» розумові структури сприяють швидшій переробці інформації, прискоренню процесу вирішення завдань, спрощують виконання складних операцій.
Вивчаючи компоненти структури математичних здібностей школярів, В. А. Крутецький проаналізував висловлювання низки вчених-математиків та викладачів математики середніх шкіл із цього питання. Приблизно 38% опитаних товаришів звернули увагу на згортання процесу міркування у здібних учнів. Наведемо ці висловлювання. «Процес міркування у здібних учнів скорочений і ніколи не розгорнутий до повної логічної структури. Це дуже економно, і в цьому його значення»; «Я часто спостерігав, як мислять здібні учні, для вчителя і класу це розгорнутий і послідовний у всіх ланках процес, а для себе.це уривчастий, швидкий, скорочений, прямо стенограма думки» 19 .
Перераховуючи якості розуму цих учнів, майже всі опитані вчителі математики та математики-вчені (98%) відзначали здатність до узагальнення. «Здібний учень швидко узагальнює не тільки математичний матеріал, а й метод міркування, докази»; деякі з опитаних вказували на здатність і навіть своєрідну "пристрасть" до узагальнення, здатність "бачити спільне в різних явищах", "здатність прийти від приватного до спільного" 20 .
Якщо проаналізувати знання, вміння та навички учнів, що стосуються використання дедукції та індукції в процесі навчання з дисциплін нематематичного профілю, то поряд з позитивними моментами можна виділити і ряд недоліків. Насамперед недостатньо розвинене вміння використовувати дедуктивний хід міркувань: давши вірне визначення учень не завжди справляється з аналізом конкретного твору під кутом зору цього визначення, у деяких учнів відсутні висновки по темі твору, у свідомості учнів іноді має місце розрив між фактологічними та теоретичними знаннями. д.
Зазначені позитивні моменти та недоліки у знаннях учнів свідчать про важливе значення вмілого поєднання індукції та дедукції під час викладу, закріплення та перевірки засвоєння шкільного матеріалу. Загальних рецептів щодо того, як, якою мірою використовувати дедуктивний чи індуктивний метод у навчанні, дати не можна. У зв'язку з цим можна назвати висловлювання Л. Д. Кудрявцева про методичні принципи викладання математики: «На жаль, немає точних рецептів, як треба викладати різні розділи математики. Методика викладання математики не наука, а мистецтво, Щоправда, це зовсім не означає, що методика викладанняматематики не треба вивчати. Будь-якому мистецтву можна і має вчити: навчаються і художники, і музиканти, і артисти, і письменники.
На основі аналізу помилок, що допускаються в педагогічному процесі, можна ще раз зробити висновок про творчий характер застосування різних методів навчання та виховання, про неприпустимість шаблонного підходу в процесі навчання.