Диференціальні рівняння у симетричному вигляді та у повних диференціалах
Дослідження диференціальних рівнянь першого порядку в дозволеному щодо похідної вигляді вносить несиметричність
Глава 1. Основні поняття
Мал. 1.4. Наприклад 1.4.1: графіки функцій y 1 (t) = C 2 − t 2 і y 2 (t) =
змінні t та y, оскільки має на увазі, що y є функція від t. З погляду інтегральних кривих, що є графіки рішень диференціальних рівнянь, немає особливої різниці у виборі способу параметризації. Тобто, поряд з y = y(t), можливо t = t(y) або, у випадку, t = ϕ(τ), y = ψ(τ), де τ – параметр.
Доцільність вибору симетричної параметризації показує такий приклад.
приклад 1.4.1. Розглянемо диференціальне рівняння
Його рішеннями на відрізку [−C + ε, C − ε] за 0 0, (t, y) D.
Рівняння (1.11) є більш загальним порівняно з рівнянням(1.7), оскільки останнє рівняння можна записати у вигляді(1.11) з функціями M(t, y) = f(t, y), N(t, y) = −1 .
Дамо визначення рішення рівняння (1.11). Так як змінні входять до нього симетрично, визначення рішення природно дати в параметричній формі.
Визначення 1.4.1. Пара функцій t = ϕ(τ), y = ψ(τ) називається параметричним рішенням рівняння у симетричному вигляді (1.11) на відрізку [τ 1 , τ 2 ], якщо:
1. функції ϕ(τ), ψ(τ) безперервно диференційовані на [τ 1 , τ 2 ]
ϕ 0 (τ) + ψ 0 (τ) > 0, τ [1, 2];
2. (ϕ(τ), ψ(τ)) D, τ [τ 1 , τ 2 ];
3. при підстановці t = ϕ(τ), y = ψ(τ) у (1.11) виходить тотожність, тобто
M(ϕ(τ), ψ(τ))ϕ 0 (τ)+N(ϕ(τ), ψ(τ))ψ 0 (τ) = 0, τ [τ 1 , τ 2 ]. (1.13)
Нехай t = ϕ(τ), y = ψ(τ) – параметричне рішеннярівняння (1.11). Інтегральною кривою рівняння у симетричній формі називається сукупність точок на площині (t, y) таких, що t = ϕ(τ), y = ψ(τ), τ [τ 1 , τ 2 ].
З умови 1 у визначенні параметричного рішення випливає, що або 0 (6) = 0, або 0 (6) = 0 в околиці кожної точки 0 (1, 2). Це, у свою чергу, означає існування однієї із зворотних функцій τ = ϕ −1 (t) або τ = ψ −1 (y) і, відповідно, можливість подати рішення рівняння (1.11) або у вигляді y = ψ(ϕ −1 (t))
18 Глава 1. Основні поняття
у околиці точки t 0 = ϕ(τ 0 ), або як t = ϕ(ψ −1 (y)) в околиці точки y 0 = ψ(τ 0 ).
Переконаємося у перевагі дослідження рівняння у симетричній формі на прикладі рівняння (1.10).
приклад 1.4.2. Запишемо рівняння (1.10) у симетричному вигляді
Його параметричне рішення t = C cos τ, y = C sin τ, τ [0, 2π] визначає інтегральні криві, що являють собою кола радіуса C. Тобто, на відміну від інтегральних кривих рівняння (1.10), параметричне рішення задає коло цілком без будь-яких виключених точок.
Зауважимо, що, якщо параметричне рішення розглядається відрізку τ [0, 2π], то немає однозначної функції y = y(t) або t = t(y), що описує відповідну дугу цілком. У той самий час, навколо кожної точки аналізованої дуги такі уявлення неважко виписати.
З рівнянням у симетричній формі пов'язані важливі поняття інтеграла та загального інтеграла. Нехай функція Φ(t, y, c) визначена і безперервна для (t, y) D і постійних c, що належать до деякої множини C 0 .
Визначення 1.4.2. Рівняння
називається інтегралом рівняння (1.11) в області D, якщо за будь-якого значення c C 0 воно визначає рішення рівняння(1.11).
Інтеграл називається загальним, якщо він визначає всі рішення рівняння(1.11), тобто для будь-якого рішення рівняння(1.11) t = ϕ(τ), y = ψ(τ), інтегральна крива якого лежить у D, знайдеться постійна c 0 така, що Φ(ϕ(τ), ψ(τ), c˜) ≡ 0.
Оскільки загальний інтеграл визначає всі рішення диференціального рівняння, то разі, коли його вдається знайти, завдання пошуку рішень диференціального рівняння вважається вирішеною. Розглянемо приклади.
приклад 1.4.3. Рівняння у симетричній формі tdt+ydy = 0 має загальний інтеграл t 2 + y 2 − c = 0. Безліч C 0 у цьому випадку є безліччю позитивних чисел.