Дипломна робота на тему «Визначення основних елементарних функцій за допомогою функціональних

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ Укаїни

ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА

ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «ТАМБІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ Г.Р. ДЕРЖАВИНА»

Інститут математики, фізики та інформатики

Кафедра функціонального аналізу

Допущена до захисту

________ Молчанов В.Ф.

Стерлікова Марина Ігорівна

«Визначення основних елементарних функцій за допомогою функціональних рівнянь»

Студентки 6 курсу

заочної форми навчання

______________ Стерликової М.І.

к. ф.-м. н., доцент кафедри функціонального аналізу

Фомічова Юлія Геннадіївна

_____________ Фомічова Ю.Г.

Стерлікова М.І. Визначення основних елементарних функцій за допомогою функціональних рівнянь: випускна кваліфікаційна робота/Стерлікова Марина Ігорівна; Тамбовський державний університет імені Г.Р.Державіна, інститут математики фізики та інформатики, кафедра алгебри та геометрії. – Тамбов, 2015. – 40с.

Ключові слова: функціональні рівняння, методи розв'язання функціональних рівнянь, елементарні функції, рівняння Коші.

Мета випускний кваліфікаційної роботи: вивчити функціональні рівняння та застосування цих рівнянь до визначення елементарних функцій: лінійної, показової, логарифмічної, статечної та тригонометричних функцій.

Методи: аналіз, дослідження

Інструкція: Ця робота виконана з урахуванням аналізу навчально-практичних посібників. У роботі розглянуто основні питання щодо функціональних рівнянь, методи вирішення функціональних рівнянь. Наведені приклади та завдання дозволяють успішно опануватизнаннями з дисципліни, що вивчається. Питання, розглянуті у роботі, як розширюють кругозір, а й несуть навчальну функцію, що тільки підкреслює значимість обраної теми.

Вступ

Функціональними рівняннями займаються з давніх-давен, цьому курсу так і не знайшлося гідного місця в математичних програмах. А жаль. Адже розв'язання окремих функціональних рівнянь потребує досить глибокого розуміння предмета та прищеплює любов до самостійної творчої роботи.

В даний час зміст різних олімпіад - від шкільних і міських до міжнародних - стали включати так звані функціональні рівняння і нерівності. Навіть простежується ідея залучення таких рівнянь та нерівностей до змісту вступних іспитів до вищих навчальних закладів на різні факультети. Отже, охочих навчитися вирішувати такі завдання стає більше. Тому з упевненістю можна стверджувати, що тема «Функціональні рівняння» сьогодні є цілком актуальною. В даний час практично немає посібників, які навчають вирішення функціональних рівнянь. Тому відчувається потреба у посібнику, який на простих і конкретних прикладах здатний показати весь арсенал сучасних методів розв'язання функціональних рівнянь. У нашій випускній кваліфікаційній роботі ми намагатимемося вирішити це завдання.

Завдання :

- вивчити науково-практичну літературу з теми випускної кваліфікаційної роботи,

- розглянути функціональні рівняння,

- розкрити методи вирішення функціональнихрівнянь,

- скласти функціональні рівняння, що відповідають елементарним функціям,

- розвиток інтересу до вирішення нестандартних математичних завдань та математики загалом.

Під час написання роботи було вивчено, проаналізовано 4 джерела.

Випускна кваліфікаційна робота складається із двох розділів.

У першому розділі розглянемо методи розв'язання функціональних рівнянь: метод зведення функціонального рівняння до відомого рівняння за допомогою заміни змінної та функції, метод підстановок, застосування елементів математичного аналізу до розв'язання функціональних рівнянь; для кожного методу підібрано приклади щодо вирішення рівнянь.

У другому розділі представимо визначення основних елементарних функцій ( , , , , за допомогою функціональних рівнянь, а так само розглянули деякі їх властивості.

Питання, розглянуті у роботі, як розширюють кругозір, а й несуть навчальну функцію, що тільки підкреслює значимість обраної теми.

Історія розвитку функціональних рівнянь

Під функціональним рівнянням у вузькому значенні слова розуміють рівняння, невідома функція якого пов'язані з відомими функціями однієї чи кількох змінних з допомогою утворення складної функції (композиції).

Наприклад: [pic],де[pic]-невідома функція,[pic]і[pic] -незалежні змінні.

Деякі функціональні рівняння знайомі нам ще з шкільного курсу це [pic],[pic], [pic] ,які задають такі властивості функцій, як парність, непарність , Періодичність.

Рішенням функціонального рівняння на множині [pic] називається функція, при підстановці якої у функціональне рівняння воно перетворюється направильне рівність на множині [pic] .

Наприклад:Покажемо, що функція [pic] є рішенням функціонального рівняння [pic] .

Справді, [pic] [pic] всімxіy.Тому функція [pic] є рішенням функціонального рівняння [pic].Завдання розв'язання функціональних рівнянь є одним із найстаріших у математичному аналізі. Вони з'явилися майже одночасно із зачатками теорії функцій. Перший справжній розквіт цієї дисципліни пов'язаний із проблемою паралелограма сил. Ще в 1769 році Даламбер звів обґрунтування закону складання сил до вирішення функціонального рівняння

Те саме рівняння з тією ж метою було розглянуто Пуассоном в 1804 при певному припущенні аналітичності, тим часом як в 1821 Коші (1789 - 1857) знайшов загальні рішення цього рівняння [pic] , [pic] , [pic] , припускаючи лише безперервність [pic] .

Навіть відома формула неевклідової геометрії для кута паралельності була отримана Н.І. Лобачевським (1792 – 1856) з функціонального рівняння

[pic] (2) [pic] [pic] що він вирішив способом, аналогічним способу Коши.

Ряд геометричних завдань, що призводять до функціональних рівнянь, розглядав англійський математик Ч. Баббедж (1792-1871). Він вивчав періодичні криві другого порядку, що визначаються наступною властивістю для будь-якої пари точок кривої: якщо абсциса другої точки дорівнює ординаті першої, то ордината другої точки дорівнює абсцисі першої. Нехай така крива є графіком функції - довільна її точка. Тоді, згідно з умовою, точка з абсцисою має ординатух. Отже,

Функціональному рівнянню (3) задовольняють функції: [pic] , [pic]

Одними з найпростіших функціональних рівнянь є рівнянняКоші

Ці рівняння Коші докладно вивчив у своєму курсі аналізу, виданому 1821 року. Безперервні рішення цих чотирьох основних рівнянь мають вигляд [pic] .

У класі розривних функцій можуть бути інші рішення. Рівняння (4) раніше розглядалося Лежандром і Гауссом при виведенні основної теореми проективної геометрії та при дослідженні гаусівського закону розподілу ймовірностей.

Функціональне рівняння (4) знову було застосовано Г. Дарбу до проблеми паралелограма сил і до основної теореми проективної геометрії; його головне досягнення – значне ослаблення припущень. Ми знаємо, що функціональне рівняння Коші (4) характеризує у класі безперервних функцій лінійну однорідну функцію[pic] .Дарбу ж показав, що будь-яке рішення, безперервне хоча у одній точці чи обмежене зверху (чи знизу) у довільно малому інтервалі, також має мати вигляд[pic] .Подальші результати по ослабленню припущень йшли швидко одне одним (інтегрованість, вимірність на безлічі позитивної міри і навіть мажорируемость вимірною функцією). Виникає питання: чи існує хоч одна якась адитивна функція (тобто задовольняє (4)), відмінна від лінійної однорідної. Знайти таку функцію справді нелегко! У результаті роботи ми покажемо, що з раціональних x значення будь-якої адитивної функції повинні збігатися зі значеннями деякої лінійної однорідної функції, т. е.[8] для [pic] . Здавалося б, що тоді[pic]всім дійсних [pic] . Якщо [pic] - безперервна, це справді так, якщо дане припущення відкинути - то немає. Перший приклад відмінного від[pic]розривного рішення функціонального рівняння (4) побудував 1905 року німецький математик Р. Гамель з допомогоювведеного ним базису дійсних чисел.

Багато функціональні рівняння не визначають конкретну функцію, а задають широкий клас функцій, тобто виражають властивість, що характеризує той чи інший клас функцій. Наприклад, функціональне рівняння [pic] характеризує клас функцій, мають період 1, а рівняння[pic]- клас функцій, симетричних щодо прямий [pic] , і т. буд.

Взагалі, для функціональних рівнянь, які зводяться до диференціальним чи інтегральним, відомо мало загальних методів рішення. Звідси виникає необхідність розглянути питання щодо методів вирішення функціональних рівнянь.