Дистрибутивні грати, handmath

Дистрибутивні грати

Визначення

Решітка називається дистрибутивною, якщо виконано один із наступних законів:

Еквівалентність двох законів дистрибутивності

Нехай вірно, що , тоді додамо з обох боків :

Тут ми скористалися одним із законів поглинання. Тепер підставимо у вихідний закон дистрибутивності замість:

Порівнюючи останні рядки у цих двох викладках (у другій ми скористалися іншим законом поглинання), дійшли висновку, що

Аналогічно (змінюючи на та навпаки) виходить доказ того, що з отриманого закону дистрибутивності можна вивести вихідний, використовуючи закони поглинання, асоціативності та комутативності операцій.

Приклади дистрибутивних ґрат

Найпростіший приклад - це різні грати всіх підмножин деякої множини, зокрема подвійні один одному грати відкритих і замкнутих множин довільного топологічного простору (ізоморфізм двоїстості - взяття доповнення до всього простору).

Приклад недистрибутивних ґрат

Розглянемо наступну діаграму Хассе:

Очевидно, що ця діаграма ставить грати і що , а . Насправді більшість по-справжньому цікавих ґрат не є дистрибутивними.

Нерівність дистрибутивності

Закон дистрибутивності у формі рівності виконаний, взагалі кажучи, далеко не у всіх ґратах. Однак, можна помітити, що в довільних ґратах, а значить. Також, отже. Це означає, що у довільній решітці виконано таку нерівність:

---