Додаткові зауваження щодо вирішення рівнянь
РІШЕННЯ І СКЛАДАННЯ РІВНЯНЬ 1-Й СТУПЕНІ
§ 4. Додаткові зауваження щодо вирішення рівнянь.
Вище було сказано, що обидві частини рівняння можна множити або ділити на одну й ту саму кількість. Говорячи це, ми розуміємо можливість цих дій у тому сенсі, що, роблячи їх над цим рівнянням, ми отримуємо нове рівняння, спільне з даними. Зауважимо тепер, що ця вказівка вірна тільки в тому випадку, коли множник чи дільник є або явна кількість, або хоч і неявна, але не містить у собі тієї невідомої літери, яка входить у рівняння. Якщо дано вираз, що містить те саме невідоме, як у рівнянні, то, взагалі кажучи, не можна ні помножувати рівняння цього вираз, ні ділити нею. Пояснимо це на прикладах:
Візьмемо рівняннях=2, яке очевидно має лише корінь2. Якщо ми помножимо обидві частини його нах, то нове рівняннях2=2хне буде вже спільно з даними, тому що крім колишнього кореня2, воно матиме ще корінь0, що виявляється і прямо з самого рівняння, а також при вирішенні отриманого рівняння, якщо замінити його рівняннямх2—2х=0і написати останнє у виглядіх(х—2)=0. Подібно до цього, помножуючи дане рівняннях=2на виразх—1, отримуємо нове рівняннях2-2х=2х—2, спільне з рівнянням (х—1)(х—2)=0і має два корені, колишній2і новий1. Взагалі при множенні рівняння на вираз, що містить невідоме, в це рівняння вводяться сторонні корені, а саме ті, якіобертають множник на нуль.
Ізрозуміло, навпаки, якщо ми маємо, напр., рівняннях2=3х, коріння якого суть0і3і скоротимо його нах, то отримане від цього скорочення рівняння не буде спільно з даними, тому що воно має лише один корінь3. Подібно до цього, маючи рівняння (х—2)2=2х—4, коріння якого суть2і4, і скоротивши обидві частини нах—2, ми втрачаємо корінь2і отримуємо рівняннях—2=2, що має лише один корінь4. Взагалі при скороченні обох частин рівняння на їх загальний множник, що містить невідоме, губляться коріння рівняння і саме ті, які перетворюють дільник на нуль.
У курсі алгебри доводиться, що рівняння можна множити на множник, що містить невідоме, тільки в тому випадку, коли цей множник входить до знаменника дробу, що вийшов від з'єднання всіх дробів, що входять до рівняння, в один дріб, і після остаточного скорочення цього останнього. якщо рівняння має виглядА+В /С=0, деАє сукупність всіх цілих членів, аВ /Сє нескоротний дріб, то, помножуючи наС, отримаємо рівнянняАС+В=0, спільне з даними. В іншому випадку, якщо дрібВ/Сскоротитий, то необхідно скоротити його раніше знищення її знаменника, щоб не внести в рівняння стороннього йому кореня.
Назад, тільки тоді можна розділити обидві частини рівняння на вираз, що містить невідоме, коли від цього вийдуть такі дроби, які, будучи з'єднані все в одній частині рівняння, дають в результаті дріб, що не скорочується на жодному множник, що містить невідоме. В іншому випадку потрібно при скороченнірівняння на дільник, помітити той корінь, який втрачається при цьому скороченні, і вважати його серед коренів даного рівняння.
У нижченаведених завданнях зірочкою позначені ті рівняння, при вирішенні яких потрібно брати до уваги зроблені вище вказівки. Інші завдання можна вирішувати за звичайними правилами.