Докази таспростування
| З-за великого обсягу цей матеріал розміщений на декількох сторінках: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 |
Дзета. Як більшість математиків, я не вмію рахувати. Я щойно спробував порахувати сторони та вершини біля семикутника; спочатку я знайшов 7 сторін і 8 вершин, а потім, вдруге, 8 сторін і 7 вершин.
Бета. Жарти убік, як виодержалиV=E?
Дзета. Я був глибоко вражений, коли зрозумів, що для трикутника V—E=0. Я, звісно, добре знав, що з одного ребра V — Е = 1 (рис. 18,а). Я знав також, що приєднання нових ребер завжди збільшує на одиницю і число ребер і вершин (рис. 18,6 і 18,в). Чому тоді в полігональних системах ребер буде V — Е = 0? Потім я зрозумів, що це виходить внаслідок переходу від відкритої системи ребер (яка обмежується двома вершинами) до закритої системи ребер (яка не має такої межі), оскільки ми закриваємо відкриту систему, вставляючи ребро без додавання нової вершини. Таким чином, я довів, але не спостерігав, що для багатокутників буде V-Е = 0.
Бета. Ваша хитрість не допоможе вам. Ви ще далі відсунули назад індуктивну відправну точку; тепер звернемося до твердження, що для будь-якого ребра V—Е = 1. Ви це довели чи спостерігали?
Дзета. Я довів це. Я, звісно, знав, що з однієї вершини V = 1 (рис. 19). Моє завдання було побудувати аналогічне співвідношення.
Бета(затято). Хіба ви не спостерігали, що для точки V = 1?
Дзета.А ви це спостерігали?(Убік, до Пі.)Чи маю я сказати йому, що моєю «індуктивною відправною точкою» був порожній простір? Що я почав з того, що «спостерігав» ніщо?
Ламбда. Принаймні два пункти ми встановили. Спочатку Сігма аргументував, що тількизавдяки історичній випадковості можна дійти наївної індуктивної здогадки; якщо маєш собі реальний хаос фактів, то навряд зможеш підвести їх під витончену формулу. Потім Дзета показав, що для логіки доказів і спростування ми зовсім не потребуємо ні наївної здогадки, ні індуктивістської відправної точки .
Бета. Заперечення! А як бути з тими уславленими наївними здогадками, якимнепередували (або навіть за якими не слідували) докази, на кшталт здогадки про чотири кольори, яка каже, що чотирьох кольорів цілком достатньо для того, щоб розфарбувати будь-яку карту, чи здогадки Гольдбаха? Адже лише завдяки історичним випадковостям докази можуть передувати теоремам, чи може мати місце «дедуктивний здогад» Дзети; в інших випадках першими бувають наївні індуктивні припущення.
Учитель. Ми, звичайно, повинні засвоїти обидва евристичні зразки;дедуктивна здогадє найкращою, аленаївна здогадкраще, ніж відсутність будь-якої здогади. Але наївна здогад - не індукція; такі речі, як індуктивні припущення, не існують!
Бета. Але ж ми знайшли наївну здогад за допомогоюіндукції! «Це означає, що вона була навіяна спостереженням, вказана особливими подіями. І серед окремих випадків, які ми розглянули, ми могли розрізнити дві групи: ті, що передували формулюваннюздогади, і ті, що з'явилися потім. Перші підказали здогад, другі підтримали її. Обидва ряди випадків здійснили деякий контакт між здогадом і «фактами». [121] Цей подвійний контакт і представляє серце індукції; перший створюєіндуктивну евристику, другий дає індуктивне виправдання, абоіндуктивну логіку.
Учитель. Ні! Факти не нагадують здогадів і тим більше не підтримують їх!
Бета. Тоді що ж підказаломеніF-E + F = 2, якщо не факти, зібрані в моїй таблиці?
Учитель. Я скажу вам. Вам самим кілька разів не вдавалося підвести їх під формулу [122]. Сталося таке: у вас були три чи чотири припущення, які по черзі були швидко відкинуті. Ваша таблиця була побудована в процесі перевірки та спростування цих припущень. Ці мертві і тепер уже забуті припущення підказали факти, а не факти підказали припущення.Наївні припущення не є індуктивними припущеннями; ми приходимо до них шляхом випробувань та помилок, через припущення та спростування[123].
Але якщо ви думаєте - неправильно, - що прийшли до них індуктивним шляхом від ваших таблиць, якщо ви вірите, що чим довша таблиця, тим більше здогадів вона підкаже і потім підтримає, то ви можете змарнувати свій час, збираючи непотрібні дані. Таким чином, перейнявшись доктриною, що шлях відкриття веде від фактів до здогадів і від припущення до доказу (міф індукції), ви можете повністю забути про евристичній альтернативі: дедуктивне вгадування[124].
Математична евристика дуже схожа на наукову евристику - не тому, що обидві є індуктивними, але тому, що обидві характеризуються здогадами, доказами та спростуваннями.Важливарізниця полягає в природі відповідних здогадів, доказів (у науці - пояснень) та контрапримерів [125].
Бета. Розумію. Тоді наш наївний здогад ніколи не був першим здогадом, «підказаним» жорсткими неймовірними фактами; їй передували багато «донаївних» здогадів і спростування. Логіка здогадів і спростування немає вихідної точки, але логіка доказів і спростування має її: вона починається з першої наївної здогади, яку має наслідувати уявний експеримент.
Альфа. Може бути. Але тоді я не став би називати її «наївною»[126].
Каппа(убік). Навіть у евристиці немає такої речі, як досконаланаївність.
Бета. Головне - якнайшвидше вийти з періоду випробувань та помилок, швидко перейти до уявних експериментів, не маючи занадто багато «індуктивної» поваги до «фактів». Ця повага може затримувати зростання знання. Уявіть собі, що з допомогою випробувань і помилок ви дійшли здогадки V—E+F = 2 і що вона відразу ж відкинута спостереженням: для картинної рами V — Е + F = 0. Якщо ви надто поважаєте факти, особливо коли вони спростовують ваші здогади, ви підете знову до до-наївних випробувань і помилок і шукатимете іншу здогад. Але якщо ви володієте кращою евристикою, то ви принаймні спробуєте ігнорувати неприємне випробування спостереженням і спробуєте випробування уявним експериментом, на кшталт доказу Коші.
Сигма. Яка плутанина! Навіщо називативипробуванням доказ Коші?
Бета. Навіщо називативипробуванням доказКоші? Це було випробування! Слухайте. Ви почали з наївної припущення: V—E + F=2 длявсіх багатогранників. Потім ви звідси вивели слідство: «якщо наївна здогад справедлива, то після усунення однієї грані для мережі, що залишилася, буде V—E+F = 1»; «якщо це слідство справедливо, то V-E+F=1, навіть після тріангуляції»; «якщо це останнє слідство справедливо, то V-E+F=1 буде справедливим, коли ми забиратимемо трикутники по одному»; «якщо це правильно, то V-Е + F = 1 для одного-єдиного трикутника».
Тепер цей останній висновок виявився загальновідомим, істинним. Але що сталося б, якби ми зробили висновок, що для єдиного трикутника V—E+F = 0? Ми відразу ж відкинули б початкове припущення як хибне. Все, що ми зробили, зводиться до того, що ми випробували нашу гіпотезу, а саме виводили з неї слідства. Випробування, мабуть, підтвердило наш здогад. Але підтвердження ще не є доказом.
Сигма. Але тоді наш доказ довів ще менше, ніж ми думали! Тоді нам потрібно звернути процес і спробувати побудувати уявний експеримент, який іде у протилежному напрямку: від трикутника назад до багатогранника!
Бета. Це вірно. Тільки Дзета показав, що замість вирішення нашого завдання спочатку шляхом створення наївного здогаду за допомогою випробувань та помилок, потім перевірки, потім звернення випробування на доказ можна одразу розпочати з реального доказу. Якби ми зрозуміли можливість дедуктивного вгадування, то ми могли б уникнути всієї цієї псевдоіндуктивної метушні!
Каппа(убік).Що за драматична серіяповоротівна 180°! Критично налаштований Альфа звернувся до догматика, догматик Дельта до спростовника, а тепер індуктивіст Бета до дедуктивіста!
Сигма. Але зачекайте.Якщо завипробувальним уявним експериментом.
Бета. Я назву йогоаналізом.
Сигма. може завжди відразу наслідуватидоказовий уявний експеримент.
Бета. Я назву його синтезом. [127]
Сигма. . чи буде «аналітична теорема» необхідно тотожною з «синтетичною»? Йдучи протилежному напрямі, ми можемо користуватися іншими лемами[128].
Бета. Якщо вони будуть іншими, то синтетична теорема має замінити аналітичну; зрештою аналіз тількизазнає, тоді як синтездоводить.
Учитель. Ваше відкриття, що наш«доказ»фактично буввипробуванням, ніби шокував клас і відвернув його увагу від вашого головного аргументу: саме, якщо ми маємо здогад, вже спростований контраприкладом, то ми повинні відкласти спростування убік і спробувати випробувати здогад з допомогою уявного експерименту. Таким шляхом ми могли б напасти на доказ, залишити фазу випробувань та помилок та пустити в хід метод доказів та спростування. Але саме це й змусило мене сказати, що «я готовий зайнятися „доказом" хибного припущення»[129]. І тоді Ламбда зажадав у своємуПравилі 1: «Якщо ви маєте якусь здогад, то спробуйте довести її та спростувати її».
Дзета. Це вірно. Але дозвольте мені доповнити правило Ламбди іПравило 4Омеги так:
Правило 5.Якщо у вас є контраприклад будь-якого типу, спробуйте за допомогою дедуктивного ворожіння знайти глибшу теорему, для якої вже не буде контраприкладів.