Дослідницька робота «Дивовижний лист Мебіуса», Освітній портал - бібліотека

«Крок у майбутнє – 2016»

«Дивовижний лист Мебіуса»

Україна, Тюменська область, Казанський район, с.Дубинка, Бурмістрова Ельза Олександрівна, Дубинська середня загальноосвітня школа – філія МАОУ Казанська ЗОШ, 6 клас

Керівник: Бурмістрова Рамзія Валіулівна, вчитель математики Дубинська середня загальноосвітня школа

2016р. ДИННИЙ ЛИСТ МЕБІУСА. Бурмістрова Ельза Олександрівна, Україна, Тюменська область, Казанський район, с.Дубинка, Дубинська середня загальноосвітня школа – філія МАОУ Казанська ЗОШ, 6 клас

1. КОРОТКА АННОТАЦІЯ У багатьох парках і скверах і навіть у художніх музеях можна зустріти незвичайний круг-стрічку. Біля входу до Музею історії та техніки у Вашингтоні повільно обертається на п'єдесталі сталева стрічка, закручена на піввітка. Що це за стрічка і чому вона викликає такий інтерес у художників та скульпторів? Виявляється це стрічка Мебіуса і має пряме відношення до математики, а точніше до геометрії. Мені захотілося, якнайбільше дізнатися про лист Мебіуса ще й тому, що цю стрічку часто називають загадковою. Робота присвячена вивченню аркуша Мебіуса, експериментальному вивченню властивостей аркуша Мебіуса, її застосуванню у житті. Розглянуто об'єкти, подібні до аркуша Мебіуса.

ДИВОВИЧНЕ ЛИСТМЕБІУСА. Бурмістрова Ельза Олександрівна, Україна, Тюменська область, Казанський район, с.Дубинка, Дубинська середня загальноосвітня школа – філія МАОУ Казанська ЗОШ, 6 клас

якщо папір забороняється м'яти. Приймемо ширину смужки за одиницю. Зрозуміло, що чим довша смужка, тим легше склеїти з неї стрічку Мебіуса.

3.3. ЛИСТ МЕБІУСА - ОСНОВНИК НАУКИ «ТОПОЛОГІЯ»

Мебіус став одним із найбільших геометрів свого часу. Властивість геометричних фігур, які змінюються, якщо їх гнути, розтягувати, стискати, але з склеювати і рвати, вивчає математична наука топологія. Слово це вигадав Йоган Бенедикт Лістинг. Тополо ·гія (від [ Завантажте файл, щоб переглянути посилання ] · · · · · · місце) частина [ Завантажте файл, щоб переглянути посилання ], що вивчає в найзагальнішому вигляді явище [ Завантажте файл, щоб переглянути посилання ], а також властивості узагальнених геометричних об'єктів, що не змінюються при малих деформаціях і не залежать від способу їх завдання. Топологією також називається конкретний об'єкт, що вивчається [Скачайте файл, щоб переглянути посилання]: сукупність всіх відкритих множин топологічного простору. Топологія об'єкта його геометрична структура (те, що не змінюється при [ Cкачайте файл, щоб переглянути посилання ]). Наука ця молода і тому пустотлива. Інакше не скажеш про правила гри, які в ній прийняті. Будь-яку фігуру тополог має право згинати, скручувати, стискати та розтягувати – робити з нею все що завгодно, тільки не розривати та не склеювати. І при цьому він вважатиме, що нічого не сталося, всі її властивості залишилися незмінними. Для нього немає жодного значення ні відстані, ні кути, ні площі. А що його цікавить? Найзагальніші властивості фігур, які не змінюються за жодних перетворень, якщотільки не трапляється катастрофи - "вибуху" фігури. Тому іноді топологію називають "геометрією безперервності". Вона відома і під ім'ям "гумова геометрія", тому що топологу нічого не варто помістити всі свої фігури на поверхню дитячої надувної кульки і без кінця змінювати її форму, стежачи лише за тим, щоб кулька не лопнула. А те, що при цьому прямі лінії , наприклад, сторони трикутника, перетворяться на криві, для тополога глибоко байдуже.

3.4. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ЧАСТИНА. Що ж вразило двох німецьких професорів у цій стрічці? 1. Однобічність. У аркуша Мебіуса – лише одна сторона. Переконатися в односторонності аркуша Мебіуса нескладно: якщо почати поступово забарвлювати його в будь-який колір, починаючи з будь-якого місця, і по закінченні роботи ви виявите, що він повністю забарвлений. 2. Безперервність. На аркуші Мебіуса будь-яка точка може бути з'єднана з будь-якою іншою точкою і при цьому жодного разу не доведеться переповзати через край стрічки. Якщо на внутрішній бік простого кільця посадити павука, а на внутрішній бік муху і дозволити їм повзати як завгодно, заборонивши лише переповзати через краї кільця, то павук не зможе дістатися до мухи. А якщо їх обох посадити на лист Мебіуса, то бідна муха буде з'їдена, якщо, звичайно, павук бігає швидше!

3. Зв'язність. Аркуш Мебіуса двозв'язковий, т.к. якщо розрізати його вздовж, він перетвориться над два окремих кільця, а одну цілу стрічку. 4. Орієнтованість - властивість відсутня у аркуша Мебіуса. Так, якби людина змоглапропутешествовать по всіх по всіх вигинах листа Мебіуса, то коли він повернувся б у вихідну точку, він перетворився на своє дзеркальне відображення. 5. "Хроматичний номер" - максимальна кількість областей, які можна намалювати на поверхні так, щоб кожна з них мала спільний кордон з усіма іншими. Хроматичний номер листа Мёбіуса дорівнює шести. Все це складно для розуміння, але, кажуть, що у чудовій книзі Сергія Боброва «Чарівний дворог» або Правдива історія про небувалі пригоди в невідомій країні, де правлять Догадка, Посидливість, Винахідливість, Терпіння, Дотепність та Працьовитість, можна прочитати про всіх цих дивовижних речах у доступній для дитячого розуміння формі. Мені знайти цю книгу не вдалося, тому щоб зрозуміти деякі властивості стрічки Мебіуса довелося зробити деякі експерименти. Експеримент 1. Взяти пензлик і зафарбувати кільця в якомусь напрямку. У звичайного кільця одна сторона виявляється зафарбованою, а інша ні. У аркуша Мебіуса зафарбованою виявилася вся стрічка цілком. Значить, поверхня листа Мебіуса все ж таки одностороння. Експеримент 2. Поставити точку на одній стороні кожного кільця і креслити безперервну лінію вздовж нього, поки не прийдеш знову у зазначену точку. У звичайного кільця лінія проходить вздовж кільця по одній стороні , сходячись у точці початку. У стрічки Мебіуса безперервна лінія проходить по двох сторонах, закінчуючись у початковій точці. Експеримент 3. Зафарбуй безперервною лінією тільки один край кілець У звичайного кільця один край зафарбований, а інший немає . У листа Мёбіуса лінія краю зафарбована безперервно по всьому кільцю. Связність. Експеримент 5. Розріж кільця вздовж навпіл, по лініїпаралельній краям. При розрізанні звичайного кільця вийшло два кільця, такого ж радіусу, тільки кожна вже вихідна в два рази. При розрізанні листа Мебіуса вийшло одне кільце у вигляді вісімки більшого радіуса. Експеримент 6. Розріж кільце вздовж, відступивши від краю на 1/3 ширини кільця.

При розрізанні звичайного кільця вийшло два кільця, такого ж радіусу, одне вже, інше ширше. При розрізанні листа Мебіуса вийшло два зчеплені один з одним кільця, одне маленьке, інше велике. Експеримент 7. Розріж результат досвіду 5 (вже розрізану стрічку) навпіл уздовж. При розрізанні звичайного кільця виходять два кільця, такого ж радіусу, ще. При розрізанні листа Мёбіуса вийшло два великі кільця, переплетених між собою у вигляді вісімки. Виникає логічне питання: «Чи існують ще подібні об'єкти?» Так, існують, і в науковій літературі описані ще більш хитромудрі об'єкти, про них дуже цікаво дізнаватися. Якщо Лист Мебіуса – «умовно двомірний об'єкт» (він отриманий з плоскої смужки), його подружка Пляшка Клейна повноправно займає 3 виміри. (Додаток 2) Запустіть сюди мурашки, і бідолаха побуває у всіх точках Пляшки Клейна - не роблячи в ній дірок, і не переповзаючи через край. На всіх малюнках показано таке: у місці, де трубка «проникає в пляшку» немає зазору, здавалося б, це не правильно! Адже якщо немає зазору, тоді мурашка має виповзати з пляшки тим же маршрутом, яким він туди вповзав. Хіба блукаючи Листом Мебіуса йому потрібно булорозвертатися після того, як він кудись дійшов? Нескінченність, вона на те й нескінченність! А чому ми тільки обходимо Пляшку Клейна? Що ж буде, якщо розрізати Пляшку Клейна? Це неймовірно, але вийшов Лист Мебіуса. Різати, щоправда, потрібно було так, щоб ріжучий предмет робив оберт у 360 градусів між початковою точкою і кінцевою. Чудеса! Пляшка Клейна у трьох вимірах це аналог Ліста Мебіуса у двох вимірах. 3.6. РЕЗУЛЬТАТИ ОПИТУВАННЯ СЕРЕД УЧНІВ 6-11 КЛАСІВ. Щоб з'ясувати, що ж знають учні нашої школи про лист Мебіуса та його властивості, я провела серед них анкетування. Анкета містила наступні запитання: Анкета Відповідайте, будь ласка, на такі питання: Чи знаєте Ви, що таке топологія? - ні - так, це - ______________________ Чи знайоме Вам поняття «Аркуш Мебіуса»? - я знаю, що це таке - тільки чув про таке поняття - не знайомо Дивне лист МОБІУСА. Бурмістрова Ельза Олександрівна, Україна, Тюменська область, Казанський район, с.Дубинка, Дубинська середня загальноосвітня школа – філія МАОУ Казанська ЗОШ, 6 клас

3. Чи знаєте Ви про властивості листа Мебіуса? - ні - так, це такі властивості ___________ 4. Чи знаєте Ви, де застосовується Аркуш Мебіуса? - ні - так, він застосовується - ____________

В опитуванні брало участь 29 учнів 5-11 класів. Обробивши анкети я отримала такі результати: Ніхто з опитаних не знає що таке топологія (Діаграма - рис. 1) 13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415 Малюнок 1 Знають, що таке лист Мебіуса - 7 осіб (24 %) Тільки чули про лист Мебіуса – 22 особи (76%) Не знайомо – 0 осіб (0 %) (діаграма – рис. 2) 13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415 Малюнок 2 Знають про властивості листа Мебіуса – 2 особи (7 %) (діаграма – рис.3) 13 EMBEDMSGraph.Chart.8 \s 1415 Малюнок 3 Ніхто з опитаних не знає, де застосовується лист Мебіуса (діаграма – рис. 4)

ДИВУВАЛЬНЕ ЛИСТ МЕБІУСА. Бурмістрова Ельза Олександрівна, Україна, Тюменська область, Казанський район, с.Дубинка, Дубинська середня загальноосвітня школа – філія МАОУ Казанська ЗОШ, 6 клас 13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s>Малюнок 4 Анкетування показало, що більшості опитаних не знайомий лист Мебіуса і все, що з ним пов'язане. 3.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Незважаючи на те, що Мебіус зробив своє дивовижне відкриття дуже давно, воно дуже популярне і в наші дні: у школярів - дуже цікаво експериментувати зі стрічкою Мебіуса; у вчителів є ще один спосіб зацікавити учнів математикою; в техніці – відкриваються нові способи використання стрічки Мёбиуса. Мёбиус вплинув як на математиків, а й у художників, скульпторів, архітекторів і багатьох, багатьох, багатьох. В результаті з'явилися картини, скульптури, марки, інші витвори мистецтва із зображенням стрічки Мебіуса. Я думаю, що слідів Мебіуса у мистецтві буде ще багато. Працюючи над проектом, я дійшла висновку, що проста смужка паперу, але перекручена лише раз і склеєна потім у кільце, відразу ж перетворюється на загадкову стрічку Мебіуса і набуває дивовижних властивостей. Виходить, моя висунута гіпотеза підтвердилася. Закінчивши дослідження, я провела урок для учнів 5,6 класу. Я вважаю цю тему дуже захоплюючою та змістовною, що розвиває пізнавальний інтерес до уроків математики. Дуже сподіваюся, що мій проект принесе користь ровесникам, старшокласникам та вчителям. В результаті дослідження виявилося, що можна багаторазово перекручувати при склеюванні стрічки Мебіуса, і тоді на нас чекає непередбачуваний хитромудрий візерунок. Я хочупродовжити вивчати властивості аркуша Мебіуса при багаторазовому перекручуванні.

5. ДОДАТКИ Анкета Відповідайте, будь ласка, на такі запитання: Чи знаєте Ви, що таке топологія? - ні - так, це - __________________________________ Чи знайоме Вам поняття «Аркуш Мебіуса»? - я знаю, що це таке - тільки чув про таке поняття - не знайомо 3. Чи знаєте Ви про властивості листа Мебіуса? - ні - так, це такі властивості ________________ 4. Чи знаєте Ви, де застосовується Аркуш Мебіуса? - ні - так, він застосовується - __________________