Дослідницька робота на тему «Лента Мебіуса» - математика, інше

МУНІЦИПАЛЬНЕ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ УСТАНОВА

«НОВОЦУРУХАЙТУЙСЬКА СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА»

Дослідна робота на тему:

«Стрічка Мебіуса»

Виконала: учениця 8 «А» класу

МОУ Новоцурухайтуйської ЗОШ

Симонова Ганна Сергіївна

Керівник: вчитель математики

Коктишева Юлія Георгіївна

Новоцурухайтуй, 2012 р.

Зміст

Історія створення листа Мебіуса…………………………………………
Вивчення властивостей стрічки Мебіуса…………………………………………
Застосування стрічки Мёбиуса у житті…………………………….

Запровадження

Актуальність дослідження. В наш час актуальне вивчення різних властивостей та нестандартних застосувань незвичайних фігур. Лист Мебіуса затребуваний, його застосування розвивається, і властивості не до кінця вивчені. Його цінність у тому, що він дав поштовх новим великим математичним дослідженням. Саме тому його часто вважають символом сучасної математики та зображують на різних емблемах та значках, як, наприклад, на значку механіко-математичного факультету Московського університету (див. Додаток 1). Актуальність цієї тематики зумовило вибір теми наукового дослідження.

Мета дослідження: дослідження поверхні стрічки Мебіуса.

Гіпотеза: якщо ми досліджуємо поверхню стрічки Мебіуса, то визначимо її практичне застосування

Об'єкт дослідження : стрічка Мебіуса.

Предмет дослідження: властивості стрічки Мебіуса.

Завдання:

познайомитись з історією появи стрічки Мебіуса;
виявити та дослідити властивості стрічки Мебіуса;
встановити сферу застосування стрічкиМебіус.

Методи дослідження: аналіз літератури з цієї теми; порівняння; узагальнення; моделювання (метод моделювання дозволив мені отримати інформацію про різні властивості об'єкта, що вивчається, на основі дослідів з його матеріальними моделями).

Історія створення листа Мебіуса

Таємничий і знаменитий лист Мебіуса (іноді кажуть: "стрічка Мебіуса") вигадав Август Фердинанд Мебіус (1790-1868), учень "короля математиків" Гауса, німецький геометр Лейпцизького університету. Спочатку Мебіус був астрономом. Він запровадив аналітичні методи дослідження, встановив поняття проективного перетворення та існування односторонніх поверхонь. У віці 68 років йому вдалося зробити відкриття вражаючої краси. Це відкриття односторонніх поверхонь, одна з яких лист Мебіуса.

У 26 років Мебіус став професором, керівником астрономічної лабораторії у Лейпцизькому університеті. Наукові статті, лекції, робота. Все як у звичайного професора університету. Розсіяного доброго дивака студенти обожнювали.

Похмуро роздивляючись злощасну стрічку, професор вигукнув: “Ай так, Марто! Дівчинка не така вже дурна. Адже це одностороння кільцева поверхня. У стрічки немає вивороту!” Ідея спала йому на думку, коли служниця неправильно пошила стрічку.

Відкрита поверхня отримала математичне обґрунтування та ім'я на честь математика та астронома, що описав її.

Стрічка надихнула на подвиги жодного добряка-професора. Взяв її на озброєння та цех паризьких кравців. Відтепер як іспит для новачка, який претендував на зарахування до цеху, було пришивання до поділу спідниці тасьми у формі стрічки Мебіуса.

Лист Мёбіуса – це топологічний об'єкт, найпростіша одностороння поверхня з краєм. Саматопологія почалася саме з аркуша Мебіуса.

Слово це вигадав Йоган Бенедикт Лістинг, який майже в той же час, що і його колега, запропонував як перший приклад односторонньої поверхні вже знайому нам перекручену стрічку.

Топологія (від грец. το?πος - місце) - частина геометрії, що вивчає в найзагальнішому вигляді явище безперервності, а також властивості узагальнених геометричних об'єктів. Топологія є одним із «наймолодших» розділів сучасної геометрії, в якому вивчаються властивості таких фігур, які не змінюються, якщо їх гнути, розтягувати, стискати, але не склеювати і не рвати, тобто не змінюються при деформаціях. Прикладом топологічних об'єктів є: літери І та Н, тонкі довгі повітряні кульки.

Вивчення властивостей стрічки Мебіуса

Виготовлення стрічки Мебіуса. Для виготовлення стрічки Мебіуса будуть потрібні паперові смуги довжиною 30 см і шириною 3 см.

Візьмемо паперову стрічку АВСD, розділену шириною навпіл пунктирною лінією. Прикладаємо її кінці АВ і СD один до одного і склеюємо так, щоб точка А збіглася з точкою C, а точка B з точкою D. Вийшло знамените в математиці паперове кільце, яке отримало особливу назву - "Стрічка Мебіуса".

Досліди зі стрічкою Мебіуса

1 досвід. Поставте крапку на одній стороні стрічки і накресліть лінію вздовж неї.

Результат: лінія проходить безперервно по обидва боки, закінчуючись у початковій поставленій точці.

2 досвід. Спробуйте зафарбувати стрічку Мебіуса, а потім звичайне кільце.

Результат: лист Мебіуса зафарбувався повністю, а ось у кільця одна сторона зафарбована, а інша – ні.

3 досвід. Виготовимо з паперу павука і муху, і відправимо їх «гуляти» спочатку по звичайному аркушу, а потім по аркушу Мебіусацьому не перетинаючи краї кільця та стрічки.

Результат: на звичайному кільці павук та муха ніколи не зустрінуться, не перетинаючи краю. На листі Мебіуса павук та муха зустрінуться не перетинаючи краю у будь-якому разі.

4 досвід: розріжемо кільця навпіл уздовж. (Щоб перевірити, яка поверхня вийшла, необхідно знову прокреслити безперервну лінію.)

Результат: вийшло два кільця, причому довжина кола кожного буде такою самою, як довжина кола спочатку взятого. У аркуша Мёбіуса вийшло одне велике кільце перекручене вдвічі (у вигляді вісімки).

5 досвід: розріжемо кільце вздовж, відступивши від краю 1/3. (Щоб перевірити, яка поверхня вийшла, необхідно знову прокреслити безперервну лінію.). Так само розріжемо і листок Мебіуса.

Результат: вийшло 2 кільця одне вже, інше ширше. У листі Мёбіуса вийшло два зчеплені один з одним кільця, одне маленьке - інше велике.

На основі проведених дослідів можна зробити висновок:

Стрічка Мебіуса має лише один край.
Має лише одну поверхню.
Об'єкти по поверхні стрічки рухатимуться нескінченно
Аркуш Мебіуса – топологічний об'єкт. Як і будь-яка топологічна фігура, стрічка Мебіуса не змінює своїх властивостей, доки її не розрізають, не розривають.
Застосування стрічки Мебіуса в нашому житті

Стрічка Мёбіуса отримала своє застосування у багатьох сферах нашого життя.

Аркуш Мебіуса служив натхненням для скульптур та для графічного мистецтва. Одним із художників, хто особливо любив його та присвятив кілька своїх літографій цьому математичному об'єкту, був Моріс Корнеліс Ешер. Одна з відомих – мурахи, що повзають поверхнею Стрічки Мебіуса. (Див. Додаток 2)

Крім того, Аркуш Мебіусатрапляється й у картинах інших художників. (Див. Додаток 3)

Зустрічається і в архітектурі. (див. Додаток 4) Так, наприклад, проектування національної бібліотеки в Астані під назвою «Юрта Мебіуса».

Їхній дизайн заснований на поєднанні чотирьох форм: кільця, ротонди, арки та юрти, при цьому об'єднаних за принципом стрічки Мебіуса.

Також є паркова лава, що повторює обриси стрічки Мебіуса, ротонда для милування пейзажем посеред поля та будинок-гніздо на воді увійшли до шорт-листу загальноукраїнської премії в галузі дерев'яної архітектури АРХІWOOD.

Вразив нас і Поп-арт, розроблений для в'єтнамського міста Хошимін. Збоку здається, що цей багатофункціональний комплекс схожий на американські гірки. Хоча основою для зовнішнього вигляду Everrich стали не американські гірки, а стрічка Мебіуса.

Загальна площа цього багатофункціонального комплексу становитиме майже 632 тисячі квадратних метрів, 37 поверхів. На них розташуються 3 100 житлових квартир, офісні та готельні приміщення, торгові зали та розважальний центр.

Перегляд вмісту документа «КОНКУРС ТВОРЧИХ РОБОТ ШКОЛЬНИКІВ»

МУНІЦИПАЛЬНЕ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ УСТАНОВА

«НОВОЦУРУХАЙТУЙСЬКА СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА»