Ейлера число - це

Відіграє важливу роль у диференціальному та інтегральному численні, а також багатьох інших розділах математики.

2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757… [1]

Зміст

Способи визначення

Числоeможе бути визначено кількома способами.

  • Через межу: (друга чудова межа).
  • Як сума низки: або .
  • Як єдине числоa, для якого виконується
  • Як єдине позитивне числоa, для якого правильне

  • Дана властивість відіграє важливу роль у вирішенні диференціальних рівнянь. Так, наприклад, єдиним рішенням диференціального рівняння є функція , деc- довільна константа.
  • Числоeірраціонально і навіть трансцендентно. Це перше число, яке не було виведено як трансцендентне спеціально, його трансцендентність було доведено лише у 1873 році Шарлем Ермітом. Передбачається, щоe— нормальне число, тобто можливість появи різних цифр у його записі однакова.
  • , див. формула Ейлера, зокрема
  • Ще одна формула, що зв'язує числаетаπ, т.з. "інтеграл Пуассона" або "інтеграл Гауса"
  • Для будь-якого комплексного числаzвірні такі рівності:
  • Числоeрозкладається в нескінченний ланцюговий дріб таким чином: , тобто
    число
  • Подання Каталана:

    • Саму ж константу вперше обчислив швейцарський математик Бернуллі під час аналізу наступної межі:

    Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася літерою b, зустрічається в листах Лейбніца Гюйгенсу, 1690-1691 роки.

    Буквуeпочав використовувати Ейлер у 1727 році, апершою публікацією з цією літерою була його робота "Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично" 1736. Відповідно,eзазвичай називаютьчислом Ейлера. Хоча згодом деякі вчені використовували буквуc, букваeзастосовувалася частіше і в наші дні є стандартним позначенням.

    Чому було обрано саме буквуe, достеменно невідомо. Можливо, це з тим, що з неї починається словоexponential(«показовий», «експоненційний»). Інше припущення полягає в тому, що літериa,b,cіdвже досить широко використовувалися в інших цілях, іeбула першою «вільною» літерою. Неправдоподібним є припущення, що Ейлер вибравeяк першу літеру у своєму прізвищі (нім.Euler).

    Способи запам'ятовування

    Доказ ірраціональності

    Нехай раціонально. Тоді , де і цілі позитивні, звідки

    Помножуючи обидві частини рівняння на , отримуємо

    Переносимо до лівої частини:

    Усі складові правої частини цілі, отже:

    - ціле

    Але з іншого боку

    Цікаві факти

    • У IPO компанії 2004 року було оголошено про намір компанії збільшити свій прибуток на 2718281828 доларів. Заявлена ​​цифра є першими 10 цифрами відомої математичної константи.
    • У мовах програмування символуeв експоненційних записах числових літералів відповідає число 10, а чи не Ейлерове число. Це пов'язано з історією створення та використання мови для математичних обчислень FORTRAN [2] :

    Я почав програмувати в 1960 році на FORTRAN II, використовуючи комп'ютер IBM 1620. У той час, у 60-ті та 70-ті роки, FORTRAN використовував лише великі літери. Можливо, це сталося тому, щобільшість старих пристроїв введення були телетайпами, що працювали з 5-бітовим кодом Бодо, який не підтримував малі літери. Літера E в експоненційному записі теж була великою і не поєднувалася з основою натурального логарифмуe, яке завжди записується маленькою літерою. Символ E просто висловлював експоненційний характер, тобто позначав основу системи — зазвичай таким було 10. У ті роки програмісти широко використовували вісімкову систему. І хоча я не помічав такого, але якби я побачив восьмеричне число в експоненційній формі, я припустив би, що мається на увазі підстава 8. Перший раз я зустрівся з використанням маленькоїeв експоненційному записі в кінці 70- х років, і це було дуже незручно. Проблеми виникли потім, коли малі літери за інерцією перейшли до FORTRAN. У нас існували всі необхідні функції для дій з натуральними логарифмами, але всі вони записувалися великими літерами.