Еліптичний оператор

Еліптичний оператор- диференціальний оператор 2-го порядку у приватних похідних. Є окремим випадком гіпоеліптичного оператора

Зміст

Визначення

Диференціальний оператор L = \sum_^n \sum_^n a_(\mathbf) \frac + \sum_^n b_k(\mathbf) \frac + c називаєтьсяеліптичним оператором, якщо квадратична форма \sum_^n \sum_^n a_(\mathbf) \xi_i \xi_j має той самий знак для всіх \mathbf [1] .

Застосування еліптичних операторів

Еліптичні оператори застосовуються для дослідження та розв'язання еліптичних рівнянь. Будь-яке еліптичне рівняння можна записати у вигляді Lu = f. Також властивості операторів використовуються при побудові чисельних методів на вирішення рівнянь. У деяких випадках ці результати спілкуються на параболічні та гіперболічні рівняння (при дискретизації цих рівнянь лише за часом виходять еліптичні рівняння для кожного тимчасового шару).

Приклади еліптичних операторів

Оператор Лапласа записується у вигляді L = \nabla \cdot \nabla
Узагальнення оператора Лапласа, оператор виду L = -\nabla \cdot p(\mathbf) \nabla + q(\mathbf) де p(\mathbf) > 0, q(\mathbf) ge 0 . Власні значення такого оператора перебувають із завдання Штурма-Ліувіля. На багатьох функціях H_0(\Omega) = \left \(H(\Omega) простір Лебега на \Omega ) даний оператор є самосполученим і позитивно визначеним [2] .
Прикладом нелінійного еліптичного оператора є оператор Lu = \sum_^n \frac\left( \nabla u \frac\right)

Напишіть відгук про статтю "Еліптичний оператор"

Примітки

↑Міранда К.Рівняння з приватними похідними еліптичного типу. - Москва: видавництво іноземноїлітератури, 1957. - 256 с.
↑Соловійчик Ю.Г. , Рояк М.Е. , Персова М.Г.Метод кінцевих елементів для скалярних та векторних завдань. - Новосибірськ: НДТУ, 2007. - 896 с. - ISBN 978-5-7782-0749-9.