Еліптичний простір - Велика Енциклопедія Нафти та Газа, стаття, сторінка 3
Еліптичний простір
Переносячи все Rk нашого сімейства паралельно у фіксовану точку О і перетинаючи їх з гіперсферою з центром О, ми отримуємо аналогічну теорію для сімейства площин Sk в еліптичному просторі Sn t, яке вийде в результаті ототожнення діаметрально протилежних точок гіперсфери. [31]
Крім класів компактних симетричних риманових просторів першого рангу, що існують при всіх значеннях п (сферичні та еліптичні простори), при всіх парних п (ермітові еліптичні простори) і при всіх п, кратних 4 (кіатерніонні еліптичні простори), існує ще єдиний 16- замкнутий римановий простір першого рангу (див. Картан [1], стор. [32]
Нехай т буде серединою Т (д1г 72); тоді Г(р/я) і T(qi,/2) перпендикулярні, тому що pqq є рівнобедрений трикутник і евклідовому, гіперболічному або еліптичному просторі. [33]
Виявляється, що такий простір можна отримати з тривимірного еліптичного простору наступним шляхом. В еліптичному просторі будується три конгруенції кліф-фордових паралелей, промені яких у кожній точці зустрічаються під прямими кутами і потім довжини вздовж прямих першої конгруенції множаться на 2]/7i, уздовж другої - на 2]/у2, вздовж третьої - на 2J -Тут J, Уа, я – головні моменти інерції. Отриманий простір В. В. Ваґнер називає простором Ейлера; йому даються інваріантні властивості і виводиться ряд якостей. [34]
У сферичному просторі всі прямі лінії, починаючись у будь-якій точці, знову перетинаються в антиподній точці, яка знаходиться від першої точки на відстаней яЛ, виміряному вздовж однієї з цих прямих.В еліптичному просторі будь-які дві прямі лінії не можуть мати більше однієї загальної точки. В обох типах просторів прямі лінії замкнуті: їхня повна довжина дорівнює 2nR у сферичному просторі і nR в еліптичному. Найбільша відстань між двома точками у сферичному просторі дорівнює яЛ, і є лише так звана антиподная точка, віддалена такий відстань від цієї точки. В еліптичному просторі найбільшою можливою відстанню буде l/2n R і всі точки, що знаходяться на цій відстані від цієї точки, лежать на прямій лінії - полярній лінії цієї точки. [35]
Так, геодезичні лінії в різноманітті Ar-мірних площин є гелікоїдоподібні сімейства таких площин від одного параметра. Наприклад, в еліптичному просторі ці сімейства мають такий вигляд: рухома Л - мірна площина січе ортогонально k l попарно полярних нерухомих прямих, причому точки перетину переміщуються цими прямими з постійними швидкостями. Встановлюється зв'язок між параметрами такого гелікоїда та координатами вектора, що вказує напрямок геодезичної в різноманітті площин. [36]
Нехай М - еліптичний простір , a S - ізометричний йому простір, отриманий ототожненням діаметрально протилежних точок одиничної сфери 5 (n - f - 1) - мірного евклідового простору. [37]
Якщо ми тепер підрахуємо кількість параметрів наших груп, то побачимо, що сформульована вище теорема Штуді доведена. Безперервна група Ge рухів еліптичного простору залежить від шести, кожна з безперервних груп Gg, G. Ge не містить шестипараметричних підгруп, а групи Gg-трипараметричних підгруп, але між обома групами існує взаємно однозначна відповідність такого роду, що кожному еліптичному руху Gвідповідає два евклідові обертання / - W, г - г і назад: кожній парі подібних незалежних обертань відповідає деякий еліптичний рух. [38]
Це буде, очевидно, так, якщо простір двовимірний. З іншого боку, ермітові гіперболічні та еліптичні простори (див. § 53) представляють приклади, що показують, що відповідь буде негативною для всіх парномірних просторів, кількість вимірів яких перевищує два. [39]
Еліптичні та сферичні простори, але термінології Картана [1], являють собою замкнуті симетричні риманові простори, у яких група рухів (точніше, її компонента, що містить тотожність) є простою групою Лі типу BDI та мірного рангу. Ермітої еліптичних просторів мають соот-нетстпующую групу типу A11I і першого рангу, а кнатерніопні еліптичні простори - типу СП і першого рангу. У наступному параграфі буде пояснено, чому слід очікувати, що компактні простори з двічі транзитивними групами рухів знаходяться серед компактних симетричних риманових просторів першого рангу з простою групою Лі як компоненти групи рухів, що містять тотожність. [40]
З другого рівняння (22) випливає, що швидкість тут постійна. Таким чином, в системі А матеріальна частка, рухаючись за інерцією, описує пряму лінію в еліптичному просторі, причому її швидкість постійна. [41]
Перш ніж звернутися до спільних просторів із двічі транзитивними групами рухів, ми розглянемо приклади таких просторів непостійної кривизни. Наступний параграф покаже, що вони є більше, ніж тільки прикладами: для випадку компактних просторів вони разом зі сферичними та еліптичними просторами вичерпують псе простору з транзитивними групами.рухів. Для порівняння ми розглянемо тут також звичайний еліптичний та гіперболічний простір. Нехай До означає поле речових або комплексних чисел або (речових) кватерніонів. [42]
Далі ми тлумачимо комплексні числа fj і tf як дійсні точки двох риманових числових сфер KI і Кг і внаслідок цього отримуємо, що яспрямовані прямі еліптичного простору, як ми цього хотіли, відобразилися взаємно однозначно на пари точок /, г сфер KI, Kr причому тепер усе стало дійсним. [43]
Випуклість сфер вища була визначена лише для множин, у яких сегмент, що з'єднує дві точки, є єдиним і тому саме це поняття не застосовується до довільних сфер у просторах еліптичного типу. Однак, оскільки геодезичні поводяться в багатьох відношеннях подібно до проективних прямих, ми можемо очікувати, що умова (е) теореми (20.9) призведе до розумного аналога услопу пухкості великих сфер. В еліптичному просторі , в якому геодезичні мають довжину 2Х, геометричне місце точок K (f, X) передгпшліет собою гіперплощину і тому не удов-летморієг усломію ( е), однак при про Х сфери К ( р, о) будуть удов-летіорнть цьому умови. [44]
R, саме G-простором. Таким чином, прямі та великі кола О-простору є його 1-площинами. Евклідові, гіперболічні та еліптичні простори мають ту властивість, що будь-які р - f - 1 точок, що не лежать в одній про-площині при про р, розташовані в одній (і тільки в одній) р-площині; зокрема три точки, що не належать до однієї геодезичної, визначають 2-ілосність. [45]