Фазовий інтеграл
Фазовий інтеграл(англ.Phase Integral) - один із фундаментальних інтегралів квантової механіки, вперше запропонований Фейнманом на початку 60-х років XX століття. Подібно до інтегралу по траєкторіях, цей інтеграл дозволяє знаходитизміщення фази, обумовлене впливом якогось поля. Наприклад, вплив магнітного поля на рух квантової частки [1] призводить до зміщення фази:
деe— заряд електрона,c— швидкість світла у вакуумі, — наведена стала Планка, — векторний потенціал магнітного поля (у системі СІ вимірюється у вольтах) та — елемент траєкторії руху частинки.
1. Диференційна зміна фази
Насправді більш цікавий випадок неінтегрального зміни фази, коли враховується абсолютне значення векторного потенціалуA(отже і магнітного поляB), адиференціального зміни фази. Справа в тому, що в першому випадку при великих значеннях амплітуди потенціалуAми матимемо і велике значення зміни фази, що не так цікаво як диференціальний випадок, коли фаза змінюється на величину, близьку до 2π. Наприклад, в інтеренферометрії важливіше не абсолютне значення параметра, а диференціальне, що і призводить до цього явища. Уквантових антиточкахГолдмана при вимірі осциляцій провідності також більш істотно диференціальне значення магнітного поля ΔB. Тому виникає тривіальна задача знаходженнядиференційної зміни фазиза наявності періодичності магнітного поля з періодом ΔB(а значить і ΔA). У цьому випадку загальний фазовий інтеграл Фейнмана можна переписати у формі:
де ΔS= 2πΔlB— довжина контуру обходу, зумовленого періодичністю ΔB, а —магнітна довжина, обумовлена періодичністю ΔB. Таким чином, знаходимодиференціальна зміна фазиу формі:
Звичайно нас цікавитьбезрозмірне число, або так званийфазовий фактор обходуконтуру, створеного періодичністю магнітного поля ΔB:
де Тл 1/2 В -1 -фазова константа, яка залежить тільки від фундаментальних констант. Основна проблема, що залишилася, полягає в тому, що на практиці досить легко вимірювати тільки магнітне поле ΔB, а потенціал ΔAзнаходиться лише шляхом розрахунків за певних припущень.
2. Зміна фази у «квантовій антиточці»
Ситуація кардинально змінилася з експериментальною розробкою «квантових антиточок» Голдманом та побудовою на їх основі «квантових інтерферометрів». Справа в тому, що у всіх експериментах з дослідження квантового ефекту Холла завжди присутня не тільки магнітне полеB, але й електричне полеE, але воно практично не враховувалося. І лише в експериментах Годмана вперше почався облік електричного поля та контролювалася його квантизація. Звісно, саме електричне поле, спрямоване вздовж магнітного поля, безпосередньо не вимірюється. Зазвичай вимірюється напруга управління на гетеропереходіVbg, а знаючи товщину гетеропереходу, можна обчислити електричне поле та електричну індукцію (з огляду на діелектричну проникність напівпровідника). Основним результатом експериментів Голдмана є те, що і магнітне поле ΔB, і електричне поле ΔVbg квантуються корельовано одне з одним (див. малюнки в публікаціях Голдмана).
Не менш очевидно, що і магнітний потенціал ΔAповинен корелювати певним чином із зміною електричного поляΔVbg. Розмірності магнітного потенціалу збігаються з розмірністю напруги на затворі (вольти!), тому цілком справедливо допустити, що вони рівні за величиною:
Результати обробки кількох статей Голдмана, присвячених квантовим інтерферометрам, представлені в таблиці:
| 0,882 | 0,788 | 4/5 | 2/5 | Fig. 10 | Goldman [1] |
| 0,325 | 0,800 | 4/5 | 1 | Fig. 2.a, c | Goldman [2] |
| 0,3421 | 1,177 | 6/5 | 2 | Fig. 2.b, d | Goldman [2] |
| 0,882 | 0,811 | 4/5 | 2/5 | Fig. 3 | Goldman [2] |
| 0,882 | 0,811 | 4/5 | 2/5 | Fig. 2 | Goldman [3] |
| 0,1154 | 0,289 | 1/3 | 1/3 | Fig. 3.b | Goldman [4] |
| 0,3143 | 0,841 | 4/5 | 1 | Fig. 3.a | Goldman [4] |
| 0,1308 | 0,328 | 1/3 | 1/3 | Fig. 5.b | Goldman [5] |
| 0,3214 | 0,861 | 4/5 | 1 | Fig. 5.a | Goldman [5] |
| 0,1308 | 0,328 | 1/3 | 1/3 | Fig. 4.b | Goldman [6] |
| 0,314 | 0,861 | 4/5 | 1 | Fig. 4.a | Goldman [6] |
| 0,11154 | 0,293 | 1/3 | 1/3 | Fig. 3.b | Goldman [7] |
| 0,314 | 0,861 | 4/5 | 1 | Fig. 3.a | Goldman [7] |
| 0,3846 | 1,871 | 9/5 | 4 | Fig. 4(5) | Goldman [8] |
| 0,35 | 1,058 | 1 | 2 | Fig. 4(5) | Goldman [8] |
| 0,2077 | 0,496 | 1/2 | 1 | Fig. 4(5) | Goldman [8] |
Безумовно, отриманий результат вражає, оскільки отримані ті самідрібні значення фази, що і так званідрібні значення зарядівГолдмана. Слід зазначити, що з обчисленні зарядів помилка збільшується з допомогою обліку товщини гетеропереходу та її діелектричної проникності. [2]