Формули скороченого множення, Соціальна мережа працівників освіти

В курсі математики 7 класу вивчаються формули скороченого множення, і я поставила собі за мету дізнатися про них більше, тому що ці формули допомагають раціонально виконувати деякі завдання.

У ході роботи мною було розглянуто питання шкільної та позашкільної програми, а також історичні відомості на тему. Частина роботи присвячена формулам скороченого множення, яких немає у підручнику алгебри 7 класу. Ця тема значуща в курсі математики і застосовується протягом усього періоду навчання: при множенні багаточленів, спрощенні виразів алгебри, скороченні дробів, розкладанні на множники, розв'язанні рівнянь та інших. Я хочу поглибити свої знання з цієї дуже цікавої теми.

Тема дослідження:«Формули скороченого множення»

Предмет дослідження:Багаточлен.

Мета:розглянути питання про існування інших формул скороченого множення, які не розглядаються у шкільній програмі

Зібрати відомості з історії математики про формули скороченого множення.
Розглянути різні способи зведення у квадрат алгебраїчної суми кількох доданків.
Вивчити способи зведення в n-у ступінь алгебраїчної суми двох доданків.
Підібрати та вирішувати задачі із застосуванням формул скороченого множення.

Я думаю, що, після вивчення даної теми, і застосування її на практиці, я розширю і поглиблю свої знання, а це сприятиме розвитку логічного та творчого мислення в процесі вирішення проблемних завдань. Це допоможе мені підготуватися до опукового екзамену з математики в 9 класі, тому що я зможу раціонально виконувати деякі вправи.

Муніципальний загальноосвітній заклад

«Середнязагальноосвітня школа №3г. Свірськ»

Формули скороченого множення

Виконала учениця 7 «В» класу

Перевірила вчитель математики

Чернігівська Тетяна Анатоліївна

Розділ 1. Історичні відомості

Розділ 2. Формули шкільного курсу математики

Глава 3. Зведення у квадрат суми кількох доданків

Глава 4. Зведення многочлена в n – ступінь

Розділ 5. Трикутник Паскаля

Глава 6. Застосування формул скороченого множення на вирішення завдань

В курсі математики 7 класу вивчаються формули скороченого множення, але мені здалося, що це ще не всі формули, які розглядаються в шкільному курсі, і я поставила собі за мету дізнатися про них більше, оскільки ці формули допомагають раціонально виконувати деякі завдання.

Тема дослідження: «Формули скороченого множення»

Предмет дослідження: Многочлен.

Мета: розглянути питання про існування інших формул скороченого множення, які не розглядаються у шкільній програмі

Зібрати відомості з історії математики про формули скороченого множення.
Розглянути різні способи зведення у квадрат алгебраїчної суми кількох доданків.
Вивчити способи зведення в n-ий алгебраїчний ступіньсуми двох доданків.
Підібрати та вирішувати задачі із застосуванням формул скороченого множення.

Розділ 1. Історичні відомості

Деякі правила скороченого множення відомі ще близько 4 тис. років тому. Тоді було прийнято всі твердження алгебри висловлювати в геометричній формі. Особливо широко алгебраїчними тотожностями користувався в 3 до н.е. давньогрецький геометр Евклід. У стародавніх греків величини позначалися не числами чи літерами, а відрізками прямих. Вони говорили не "а", а "квадрат на відрізку а", не "ав", а "прямокутник, що міститься між відрізками а і в". Наприклад, тотожність (а + в ) =а + 2ав + в другій книзі «Почав» Евкліда формулювалося так: « Якщо пряма лінія (мається на увазі відрізок) як-небудь розсічена, то квадрат на всій прямий дорівнює квадратам на відрізках разом з двічі взятим прямокутником, укладеним між відрізками». Доказ спирався на геометричні міркування.

Надалі я наведу приклад такого доказу.

Першим ученим, який відмовився від геометричних способів вираження і перейшов до рівнянь алгебри, був давньогрецький вчений-математик, який жив у III столітті до н. е. Діофант Олександрійський. У своїй книзі «Арифметика» Діофант формули квадрата суми, квадрата різниці та різниці квадратів розглядав уже з арифметичної точки зору. Ну а сучасну алгебраїчну тотожність символікуотримали завдяки двом математикам, а саме Вієту та Декарту (16 століття).

На рівні розвитку математики дані формули були обгрунтовані Ісааком Ньютоном. При невеликих значеннях n коефіцієнти можна знайти із трикутника Паскаля. Блез Паскаль триста п'ятдесят років тому придумав спеціальний інструмент для визначення цих коефіцієнтів, який згодом назвали «трикутник Паскаля».

Глава 2. Формули шкільного курсу математики

На уроці математики я познайомилася із формулами скороченого множення, які знаю напам'ять.

Усі вони доводяться розкриттям дужок через множення багаточленів та приведенням подібних доданків.

(a + b) (a – b) = a² - b² (1)

Квадрат суми та квадрат різниці:

(a + b)² = a² + 2ab +b² (2)

(a – b)² = a² - 2ab + b² (3)

Сума та різниця кубів:

(a + b) (a² - ab + b²) = a³ +b³ (4)

(a – b) (a² + ab + b²) = a³ - b³ (5)

Куб суми та куб різниці:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (6)

(a –b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (7)

Після чого я зацікавилася: а як звести в квадрат алгераїчну суму трьох або чотирьох доданків.

Глава 3. Зведення у квадрат суми кількох доданків

Для чого спочатку я розглянула три способи зведення в квадрат суми трьох доданків (a+b+c) 2 .

Перший спосіб: геометричний.

Спершу розбила квадрат на фігури, як показано на малюнку. Після чого знайшла площу кожного отриманого квадрата чи прямокутника.

Оскільки площа цілої фігури дорівнює сумі площ його частин, то отримала рівність для площі прямокутника: S=a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2. Після спрощення: S=a 2 + b 2+c 2+2ab+2ac+2bc.

Другий спосіб: виконала алгебраїчне множеннябагаточленів.

(a+b+c)*(a+b+c)=a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2 =a 2 + b 2 +c 2 +2ab+2ac+ 2bc.

Третій спосіб: представила цю суму як суму двох доданків і звела її в квадрат. ((a+b)+c) 2 =(a+b) 2 +2(a+b)c+c 2 =a 2 + c 2 +b 2 +2ab +2ac+2bc.

У всіх трьох випадках результат отримав однаковий:

(a+b+c) 2 =a 2 + c 2 +b 2 +2ab +2ac+2bc=a 2 + c 2 +b 2 +2(ab+ac+bc)

Аналогічними способами я вивела формулу для зведення у квадрат суми чотирьох доданків.

(через обчислення площі квадрата). Таким чином площа квадрата дорівнює сумі площ його частин:

S=a 2 + b 2 + c 2 +d 2 +

Множення багаточленів: (a+b+c+d)*(a+b+c+d)=a 2 +ab+ac+ad+ab+b 2 +bc+bd+ac+bc+c 2 +cd+ ad+bd+cd+d 2 ==a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

Перетворення на квадрат суми двох доданків:

((a+b)+(c+d)) 2 =(a+b) 2 +2(a+b)(c+d)+(c+d) 2 =a 2 +2ab+b 2 +2ac +2ad+2bc+2bd+c 2 +

+2cd+d 2 =a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

І знову я у кожному випадку отримала однаковий результат, тобто

(a+b+c+d) 2 =a 2 +b 2 + c 2 + d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd=a 2 +b 2 +c 2 + d 2 +

Висновок: Після проведеної роботи я припустила, що в квадрат можна звести суму кількох доданків. Підтвердження цьому я знайшла у довідковій літературі:

(a 1 + a 2 + …+ a п )² = a 1 ² + a 2 ² +…+ 2(a 1 a 2 + a 1 a 3 +…+ a i a j +…+ a n-1 a.)

Отже, квадрат суми n доданків дорівнює сумі їх квадратів плюс подвоєна сума всіляких попарних творів цих доданків виду a i a j ,

У цьому прикладі я застосувала формули різниці квадратів та квадрата суми двох доданків.

Відповідь: (65 2 -32 2 -97 * 11): (61 2 -36 2) + (56 2 -26 2): (66 2 -16 2) = 4,48

Рішення: на відміну від попереднього, цевираз насичений різними

формулами. Починаю виконувати його за діями, не забуваючи застосовувати

формули скороченого множення:

За допомогою ФСУ можна спрощення алгебраїчних виразів.

2. Запросити вираз:

У цьому прикладі у другій дії я застосувала формули різниці квадратів та різниці кубів двох доданків і виконала скорочення дробів.

Після застосування сполучного закону множення спочатку я використовувала формули різниці та суми кубів, а потім різницю квадратів двох доданків.

3. Спростити та обчислити:

Рішення: застосовую формули різниця квадратів і квадрат різниці двох доданків.

, підставляю задане значення в вираз, що вийшов, і обчислюю:

Рішення: в даному випадку зроблю угруповання чотирьох доданків, а в останній дії розпишу формулу різниці квадратів:

, тепер обчислення будуть більш простими:

У цих прикладах я не тільки виконала спрощення виразів за допомогою формул скороченого множення, але й зробила обчислення для кожного випадку.

Формули скороченого множення також застосовують і для розв'язання рівнянь алгебри. Так як в курсі 7 класу рівняння, представлені нижче, не вивчаються, то й вирішити їх іншим способом не могла.

4. Розв'язати рівняння: а)

Спочатку я розкладу другий доданок на суму двох доданків, а далі застосую спосіб угруповання.

Праву частину рівняння розкладу за формулою квадрата різниці, а потім виконаю дії як у попередньому прикладі.

Спочатку застосовую формули різниці кубів і квадратів, далі наводжу подібні доданки та переходжу до розв'язання елементарного рівняння.

Дане рівняння відрізняється від попередніх тим, що в ньому два невідомі, тому у рішенні одназмінна буде виражена через іншу.

Також за допомогою ФСУ можна виконувати доказ тотожно рівних виразів.

5. Довести тотожність з «Арифметики» Діофанта:

Рішення: згорнула знаменник першого і третього дробу в квадрат різниці двох доданків, привела вираз до спільного знаменника, далі перенесла все в ліву частину і навела подібні доданки. В результаті отримала, що ліва частина теж дорівнює правої.

При вивченні матеріалу на цю тему, я дізналася багато нового та цікавого. Виявилося, що формули скороченого множення можна використовувати для раціонального обчислення виразів, при спрощенні виразів, при вирішенні рівнянь, доказі тотожностей і таке інше.

У процесі роботи я самостійно вивела різні формули скороченого множення, причому деякі з них довела декількома способами, познайомилася із трикутником Паскаля.

Я вирішувала багато цікавих завдань, які не зустрічалися на уроці математики. Мені дуже подобається предмет математика, я вважаю, що ті знання, які я придбала, готуючи цю роботу, стануть у нагоді мені у подальшому навчанні та підготовці до випускних іспитів. Ця тема актуальна, оскільки математику не можна уявити без формул скороченого множення, оскільки вони застосовуються у шкільному курсі, а й у курсі вищої математики. Створена мною робота може використовуватись іншими учнями та викладачами математики на своїх уроках. Мені сподобалося займатися дослідницькою роботою.

1. С. М. Микільський, М. К. Потапов та ін Алгебра 7; М.: "Освіта", 2008.

2. С. М. Микільський, М. К. Потапов та ін Алгебра 10; М.: "Освіта", 2008.

3. В. І. Жохов, Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк. Дидактичні матеріали: алгебра 8 клас; М.:"Освіта", 2003.

4. М. К. Потапов, Я. В. Шевкін. Дидактичні матеріали: алгебра та початку аналізу 10 клас; М.: "Освіта", 2010.