Геометрія. Урок 5. Окружність
Зміст сторінки:
- Визначення кола
- Відрізки в колі
Кількість – геометричне місце точок, рівновіддалених від цієї точки.
Ця точка називаєтьсяцентром кола.
Відрізки в колі
Радіус кола R - відрізок, що з'єднує центр кола з точкою на колі.
Хорда a – відрізок, що з'єднує дві точки на колі.
Діаметр d - хорда, що проходить через центр кола, він дорівнює двом радіусам кола (d = 2 R).
O A – радіус, D E – хорда, B C – діаметр.
Теорема 1:Радіус, перпендикулярний хорді, ділить навпіл цю хорду та дугу, яку вона стягує.
Дотична до кола - пряма, що має з колом одну загальну точку.
З однієї точки, що лежить поза колом, можна провести дві дотичні до цього кола.
Теорема 2:Відрізки дотичних, проведених з однієї точки, рівні ( A C = B C ).
Теорема 3:Дотична перпендикулярна радіусу, проведеному до точки дотику.
Дуга в колі
Частина кола, укладена між двома точками, називається дугою кола .
Наприклад, хорда A B стягує дві дуги: ∪ A M B і ∪ A L B .
Теорема 4:Рівні хорди стягують рівні дуги.
Якщо A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Кути в колі
У колі існує два типи кутів: центральні та вписані.
Центральний кут – кут, вершина якого лежить у центрі кола.
∠ A O B – центральний.
Центральний кут дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається. ∪ A B = ∠ A O B = α
Якщо провести діаметр, то він розіб'є коло на два півкола. Градусна міра кожного півкола буде дорівнює градусній мірі розгорнутого кута, який на неї спирається.
Градусна мара всього кола дорівнює 360°.
Вписаний кут – кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло.
∠ A C B – вписаний.
Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, яку він спирається. ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:Вписаний кут, що спирається на півколо (на діаметр), дорівнює 90°.
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Довжина кола, довжина дуги
Ми дізналися, як вимірюється градусна міра дуги кола (вона дорівнює градусній мірі центрального кута, який на неї спирається) і всього кола цілком (градусна міра кола дорівнює 360 °). Тепер поговоримо про те, що таке довжина дуги в колі. Довжина дуги — це значення, яке ми отримали б, якби міряли дугу швейним сантиметром. Розглянемо два кола з різними радіусами, у кожному з яких побудований центральний кут, що дорівнює α .
Градусна міра дуги ∪ A B дорівнює градусній мірі дуги ∪ C D і дорівнює α.
Але неозброєним оком видно, що довжини дуг різні. Якщо градусна міра дуги кола залежить тільки від величини центрального кута, який на неї спирається, то довжина дуги кола залежить ще й від радіусу самого кола.
Довжина кола знаходиться за формулою:
Довжина дуги кола, на яку спирається центральний кут α дорівнює:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площа кола та його частин
Тепер поговоримо про площу кола, площу сектора та площу сегмента.
Коло - частина простору, яка знаходиться всередині кола.
Іншими словами, коло - це межа, а коло - це те, що всередині.
Приклади кола у реальному житті: велосипедне колесо, обруч, кільце.
Приклади кола в реальному житті: піца, кришка каналізаційного люка, плоска тарілка.
Площа кола знаходиться за формулою: S = π R 2
Сектор - це частина кола, обмежена дугою та двома радіусами, що з'єднують кінці дуги з центром кола.
Приклади сектора у реальному житті: шматок піци, віяло.
Площа кругового сектора, обмеженого центральним кутом α, знаходиться за формулою: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент - це частина кола, обмежена дугою і хордою, що стягує цю дугу.
Приклади сектора у реальному житті: мармелад «лимонна часточка», цибуля для стрілянини.
Щоб знайти площу сегмента, потрібно спочатку обчислити площу кругового сектора, який даний сегмент містить, а потім відняти площу трикутника, який утворений центральним кутом і хордою.
S = π R 2 180 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусів
Якщо навколо довільного трикутника описано коло, то його радіус можна знайти за допомогою теореми синусів:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Досить знати одну зі сторін трикутника та синус кута, що навпроти неї лежить. З цих даних можна знайти радіус описаного кола.
Приклади рішеньзавдань з ОДЕ
Модуль геометрія: завдання, пов'язані з колами.