ГОМОЛОГІЧНА АЛГЕБРА
Одним із витоків Г. а. з'явилася теорія гомології топологіч. просторів, в якому кожен топологич. просторуXзіставляється послідовність абелевих груп (груп гомології), а безперервному відображенню просторів - набір гомоморфізмів груп гомології. Кожен га-мірний сингулярний симплекс Ттопологіч. простору Xмає кордон, що складається з сингулярних симплексів розмірностіп-1.Якщо - вільна абелева група, породжена всіма цими n-вимірними симплексами, то функція, к-рая зіставляє кожному Тальтерновану суму його граничних симплексів, визначає гомоморфізм так що безперервне відображення просторів індукує гомоморфізм відповідних їм комплексів. Деякі властивості простору X або відображення можуть бути знайдені за властивостями групи гомології цього комплексу або відповідних гомоморфізмів цих груп гомології, що в ряді випадків дозволяє звести вивчення топологіч. об'єктів до вивчення деяких алгебраїч. об'єктів, подібно до того, як це робиться в аналітич. еометрії (але з тією різницею, що перехід від геометрії до алгебри в теорії гомології необоротний).
У свою чергу, в алгебрі у зв'язку з вивченнямрозширеньгруп фактично розглядалися перша та друга групи гомології та когомологій. Значний підготовчий матеріал був розроблений в теорії асоціативних алгебр, Лі алгебр, теорії кінцевих алгебр, теорії кілець, теорії квадратичних форм.
У процесі вивчення груп гомології склалася передусім мова Р. а. З'явилися позначення відображень за допомогою стрілок і комутативні діаграми (якщо у графі відображень два шляхи, що мають загальний початок і кінець, призводять до одного і того ж результату, то таку діаграму зв. комутативної). Часто зустрічалися послідовностігомоморфізмів, в яких брало ядро вихідного гомоморфізму збігалося з образом вхідного, такі послідовності назвали точними. Стало звичаєм ставити математич. об'єкти одночасно з їх відображеннями, а найбільш переважними вважалися відповідності між об'єктами, що зберігають відображення, названі функціями. Основні переваги цієї мови - інформативність, природність і наочність, швидко отримали визнання. Напр., в [5] мова Р. а. був використаний для аксіоматич. викладення основ алгебраїч. топології. В даний час мова Г. а. присутній у багатьох роботах, що навіть не використовують її методів.
Основні функтори Г. а. - Ном (A, В). (група гомоморфізмів модуля Ав модуль В). Основа теорії - вивчення похідних функторів, які будуються, напр., наступним чином. Довільний модуль може бути представлений як фактор модуль вільного модуля F0, потім розглядається таке ж уявлення F1 для ядра попереднього уявлення і т. д. В результаті виникає точна послідовність
де всі модулі – проективні, зв. проективною резольвентою модуляА.Застосування до неї коваріантного адитивного функтора Тдає комплекс, групи гомології к-рого зв. лівими похідними функтора Тн позначаються. Подвійно (для контраваріантного функтора) або, використовуючи ін'єктивні модулі та ін'єктивні резольвенти (для коваріантного функтора), будуються праві похідні функтори. Похідні функторы вимірюють у певному сенсі відхилення функтора від точності. Вони не залежать від свавілля побудови резольвенти. Кожній точній послідовності
відповідають дві нескінченні точні послідовності похідних функторів:
Для похідних функторів основних функторів прийнято такі позначення:
Обидва ці функтори є функторами двох аргументів АіВ,тому викладена конструкція побудови похідного функтора до них безпосередньо не застосовується. В даному випадку можна фіксувати один з аргументів і будувати резольвенту для іншого або, взявши резольвенти для обох аргументів, можна побудувати деякий подвійний комплекс. Всі ці побудови призводять до того самого результату. Група ізоморфна групі розширень модуля За допомогою модуля А (і у цьому виді давно вивчалася). Встановлення нових зв'язків значно розширило та просунуло теорію розширень модулів. Група зіставляє кожній групі Аєї періодич. частина. Узагальнення цього спостереження спричинило загальну теорію кручення.
У загальну схему похідних функторів укладається теорія алгебраїчної гомології. систем. Напр., нехай - групове кільце мультиплікативної групи над кільцем цілих чисел,А -лівий, аВ -правий -модулі. Вивчення груп
де розглядається як тривіальний лівий модуль, становить теорію гомології та когомологій груп. Нехай - алгебра Лі над полем - її універсальна обгортаюча алгебра, Аесть - модуль. Вивчення груп
де k розглядається як тривіальний модуль, становить теорію когомологій алгебр Лі. Аналогічно визначаються відповідні групи когомологій і гомології моноїдів, абелевих груп, алгебр, градуйованих алгебр, кілець і т. д. Керівною ідеєю в кожному випадку служить те, що друга група когомологій представляє групу розширень для алгебраїчного типу. систем.
У свою чергу, гомологія алгебраїч. систем є предметом вивченнявідносної гомологічної алгебри.
У окремих випадках обчислення похідних функторов зазвичай досягається з допомогою вдало побудованої резольвенты. Іноді резольвента виявляється кінцевою (напр., Довжина резольвенти довільної абе-левої групи не перевищує 1). Існує давній і цілком виправданий інтерес до довжини найкоротшої резольвенти (ця довжина зв.гомологічної розмірністю).Перший значний результат у цьому напрямку -Гільберта теоремапро сигігії кінець 19 ст). Теорія гомологіч. розмірності - одна з гілок, що активно розвиваються Г. а. Перехід від модулів з різними обмеженнями кінцівки до загального випадку часто здійснюється за допомогою функторівіндуктивних межіпроективних меж. Будь-яка компактна цілком нескладна група уявна як проективної межі своїх кінцевих факторгруп. Інтерес до цих груп викликаний їхніми зв'язками із теорією Галуа. Похідні цих функторів застосовуються теоретично гомологич. розмірності.
Вивчаються похідні функторы для неаддитивних функторов (напр., функтора, що зіставляє групі обеля її групове кільце або симетричну алгебру).
До основних засобів обчислення Р. а., крім вже відзначених резольвент, слід віднестиспектральні послідовностіігомологічні множення. гомології її підгрупи та факторгрупи. Гомологіч. множення вивчають гомоморфізми типу
комбінують між собою похідні функтори. Методи Р. а. широко використовуються в даний час в різних розділах математики - вфункціональному аналізі, теорії функцій комплексного змінного, диференціальних рівняннях та ін. Без Г. а. немислимі такі розділи алгебри, як алгебраїч.К-теорія, алгебраїч. геометрія, алгебраїч. теорія чисел.
[1] Картан А., Ейленберг С., Гомологічна алгебра, пров. з англ., М., 1960; [2] Маклейн С., Гомологія, пров. з англ., М., 1966; [3] Басе X., Алгебраїчна. К-теорія, пров. з англ., М., 1973; [4] Гротендік А., Про деякі питання гомологічної алгебри, пров. з франц., М., 1961; [5] Стінрод Н., Ейленберг С., Підстави топології алгебри, пров. з англ., М., 1958; [6] Підсумки науки. Сер. Математика. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 203-36; [7] Steenrod N. Е., Reviews of papers in algebraic and differential topology, topological and homological algebra, pt. 2, Princeton, p. 1174-364.Ст. Є. Говоров, А. В. Михалєв.