Гомологія-математика Україна – наша Батьківщина
Інструменти користувача
Інструменти сайту
Зміст
Гомологія (математика)
Гомології - одне з основних понять алгебраїчної топології.
Дає можливість будувати об'єкт алгебри (групу або кільце), який є топологічним інваріантом простору.
Замкнена лінія лежить на поверхні гомологічна нулю, якщо є межею деякого її ділянки. Приклад: у сфері будь-яка замкнута лінія гомологічна нулю, група . На торі існують замкнуті лінії, які не гомологічні нулю, група не тривіальна.
Симпліційні гомології
Симпліційні гомології визначаються для поліедрів шляхом побудови симпліційного комплексу.
Сингулярні гомології
Симпліційні гомології були дані лише поліедрів, причому доказ їх інваріантності і функториальности досить складно.
Сингулярні гомології вводяться отже їх інваріантність і функториальность відразу стають очевидними.
Сингулярний симплекс розмірності - це пара де - це стандартний симплекс, а - його безперервне відображення; .
Групу сингулярних ланцюгів визначимо як безліч формальних лінійних комбінацій:
з цілими (зазвичай їх вважають також обмеженими) коефіцієнтами.
При цьому для лінійного відображення , що визначається перестановкою точок вважають .
Граничний оператор визначається на сингулярному симплекс так:
де стандартний - мірний симплекс, а , де - це його відображення на -ю грань стандартного симплекса .
Аналогічно симпліційним гомологіям доводиться що.
Як і раніше вводяться поняття сингулярних циклів - таких ланцюгів, що, і кордонів - ланцюгів для деякого.
Факторгрупа групи циклів поГрупа кордонів називається групою сингулярних гомологій.
Знайдемо, наприклад, сингулярні гомології простору з однієї точки.
Для кожної розмірності існує лише одне єдине відображення .
Кордон симплексу , де всі рівні, тому що відображають симплекс в одну точку (позначимо).
, якщо непарно (число членів у сумі парне, а знаки чергуються); якщо і парно; якщо .
Звідси отримуємо для нульової розмірності: .
Для непарної розмірності.
Для парної розмірності.
Тобто група гомологій дорівнює для нульової розмірності та дорівнює нулю для всіх позитивних розмірностей.
Можна довести, що на багатьох поліедрах сингулярні гомології збігаються з раніше певними симпліціальними.
Сингулярні гомології було введено Лефшецем.
Гомології з коефіцієнтами у довільних групах
Можна визначати гомології, дозволяючи коефіцієнтам при симплексах в ланцюгах бути елементами будь-якої групи обелеву. Тобто замість груп розглядати групи.
Групи гомологій (симпліційні, сингулярні і т. д.) простору з коефіцієнтами групи позначаються . Зазвичай застосовують групу дійсних чисел, раціональних чисел, або циклічну групу відрахувань по модулю -, причому зазвичай береться - просте число, тоді є полем.
Інший опис. Застосовуючи до комплексу
функтор, ми отримаємо комплекс
гомології якого є гомології з коефіцієнтами в .
Когомології
Крім ланцюгів можна запровадити поняття коцепей — відображення векторного простору ланцюгів у групу . Тобто простір коцепів.
Граничний оператор визначається за такою формулою: (де ). Для такого граничного оператора також виконується
Тому аналогічно тому, що було сказановище, можна запровадити поняття коциклів, комеж і когомологій.
Поняття когомології подвійне поняттю гомології.
Якщо - кільце, то в групі когомологій визначено природне множення (твор Колмогорова - Александера або -npотвор), що перетворює цю групу на градуйоване кільце, зване кільце когомологій.
У випадку, коли — різноманіття, що диференціюється, кільце когомологій може бути обчислене за допомогою диференціальних форм (див. Теорема де Рама).
Поняття когомології було введено Александером та Колмогоровим.
Відносні гомології та точна гомологічна послідовність
Візьмемо випадок двох топологічних просторів. Група ланцюгів (ланцюги можуть бути як з цілими коефіцієнтами, так і з коефіцієнтами в будь-якій групі). Відносними ланцюгами будуть називатися елементи фактор групи. Так як граничний оператор на групі гомологій підпростору перекладає, то можна визначити на фактор групі граничний оператор (ми його позначимо так само).
Ті відносні ланцюги, які він переводить, будуть називатися відносними циклами, а ланцюги, які є його значеннями — відносними межами. Так як на абсолютних ланцюгах, то це буде правильно для відносних, звідси . Факторгрупа називається групою відносних гомологій.
Так як кожен абсолютний цикл є також і відносним маємо гомоморфізм По функториальному властивості вкладення призводить до гомоморфізму.
У свою чергу можна побудувати гомоморфізм, який ми визначимо в такий спосіб. Нехай - відносний ланцюг, який визначає цикл з . Розглянемо її як абсолютну ланцюг (з точністю до елементів). Так як це відносний цикл, то дорівнюватиме нулю з точністю до деякого ланцюга . Покладемо рівнимкласу гомологій ланцюга.
Якщо ми візьмемо інший абсолютний ланцюг , визначальний той самий відносний цикл, ми матимемо , де . Маємо , але оскільки є кордоном , то й визначають один і той самий елемент у групі гомологій . Якщо взяти інший відносний цикл , що дає той самий елемент у групі відносних гомологій , де - відносна межа, то через те, що межа для відносних гомологій , де , звідси , але , а - кордон в .
Тому клас гомологій визначено однозначно. Зрозуміло по лінійності оператора, що він є гомоморфізмом. Отже, ми маємо гомоморфізми:
Можна довести, що ця послідовність точна, тобто образ будь-якого гомоморфізму дорівнює ядру наступного гомоморфізму.
Аксіоми Стінрода - Ейленберга
Крім вже відомих нам симпліціальних та сингулярних гомологій існують ще інші теорії гомологій та когомологій, наприклад клітинні гомології, Когомології Александрова - Чеха, когомології де Рама і т. д. Стінрод та Ейленберг визначили систему аксіом теорії (ко)гомологій. Спочатку вони визначають т.зв. допустимий клас пар топологічних просторів, що задовольняє наступні властивості:
У теорії гомологій по Стінроду - Ейленбергу кожній допустимій парі і будь-якого цілого числа k відповідає абелева група і безперервному відображенню пар відповідає гомоморфізм (Простір ототожнюється з парою), а с), причому виконуються такі аксіоми:
точна (аксіома точності).
Для сингулярних гомологій допустимий клас пар складається з усіх топологічних пар просторів. Раніше певні групи сингулярних гомологій з коефіцієнтами групи їх відображення і граничний гомоморфізм задовольняють усім цим аксіомам. Якщо як допустимий клас взяти клас поліедрів, то можнадовести, що гомології, визначені за допомогою даної системи аксіом, збігаються із симпліційними.
Аналогічно можна запровадити систему аксіом для когомологій, яка цілком аналогічна.
Необхідно лише пам'ятати, що відображенню відповідає (контраваріантність) і що кограничний гомоморфізм збільшує розмірність.
Екстраординарні гомології
У системі аксіом Стінрода — Ейленберга аксіома розмірності виявляється менш важливою, як інші.
Теорії (ко)гомологій, які можуть мати ненульові групи (ко)гомологій одноточкового простору для розмірностей 0, називаються екстраординарними або узагальненими. Найбільш важливими екстраординарними теоріями є K- теорія Атьі (треба відзначити важливий внесок у цю теорію Хірцебруха, Ботта та Адамса) та теорія бордизмів Р. Тома.