GOS - Стор 3

Для побудови квадратичних кривих Безьє потрібно виділення двох проміжних точок Q0 і Q1 з умови, щоб параметр t змінювався від 0 до 1:

Точка Q0 змінюється від P0 до P1 і визначає лінійну криву Безье.

Точка Q1 змінюється від P1 до P2 і також визначає лінійну криву Безье.

Точка B змінюється від Q0 до Q1 і описує квадратичну криву Безьє.

Побудова квадратичної кривої Безьє

[ред.] Криві вищих ступенів

Для побудови кривих вищих порядків відповідно потрібно більше проміжних точок. Для кубічної кривої це проміжні точки Q0, Q1 і Q2, що описують лінійні криві, а також точки R0 і R1, які описують квадратичні криві: простіше рівняння p0q0/p0q1=q1p1/p1p2=bq0/q1q0

Побудова кубічної кривої Безьє

Для кривих четвертого ступеня це будуть точки Q0, Q1, Q2 і Q3, що описують лінійні криві, R0, R1 і R2, які описують квадратичні криві, а також точки S0і S1, що описують кубічні криві Безьє:

Побудова кривої Безьє 4-го ступеня

[ред.] Властивості кривої Безьє

безперервність заповнення сегмента між початковою та кінцевою точками;

крива завжди розташовується усередині фігури, утвореної лініями, що з'єднують контрольні точки;

за наявності лише двох контрольних точок сегмент є прямою лінією;

пряма лінія утворюється при колінеарному (на одній прямій) розміщенні крапок, що управляють;

крива Безьє симетрична, тобто обмін місцями між початковою та кінцевою точками (зміна напрямку траєкторії) не впливає на форму кривої;

масштабування та зміна пропорцій кривої Безьє не порушує її стабільності, оскількивона з математичної точки зору «афінноінваріантна»;

зміна координат хоча б однієї з точок веде до зміни форми всієї кривої Безьє;

будь-який частковий відрізок кривої Без'є також є кривою Без'є;

ступінь кривої завжди на один щабель нижче за кількість контрольних точок. Наприклад, при трьох контрольних точках форма кривої – парабола;

коло не може бути описана параметричним рівнянням кривої Безьє;

неможливо створити паралельні криві Безьє, за винятком тривіальних випадків (прямі лінії та збігаються криві), хоча існують алгоритми, що будують наближену паралельну криву Безьє з прийнятною для практики точністю.

[ред.] Застосування в комп'ютерній графіці

Завдяки простоті завдання та маніпуляції, криві Безьє знайшли широке застосування в комп'ютерній графіці для моделювання гладких ліній. Крива цілком лежить у опуклій оболонці своїх опорних точок. Ця властивість кривих Безьє з одного боку значно полегшує завдання знаходження точок перетину кривих (якщо не перетинаються опуклі оболонки опорних точок, то не перетинаються і самі криві), а з іншого боку дозволяє здійснювати інтуїтивно зрозуміле управління параметрами кривої в графічному інтерфейсі за допомогою її опорних точок. Крім того афінні перетворення кривій (перенесення, масштабування, обертання та ін) також можуть бути здійснені шляхом застосування відповідних трансформацій до опорних точок.

Найбільше значення мають криві Безье другого та третього ступенів (квадратичні та кубічні). Криві вищих ступенів для обробки потребують більшого обсягу обчислень і для практичних цілей використовуються рідше. Для побудови складних формою ліній окремі криві Безье можуть бути послідовно з'єднані один з одним в сплайн Безье. Длятого, щоб забезпечити гладкість лінії у місці з'єднання двох кривих, три суміжні опорні точки обох кривих повинні лежати на одній прямій. У програмах векторної графіки на зразок Adobe Illustrator або Inkscape подібні фрагменти відомі під назвою «шляхів» (path).

[ред.] Перетворення квадратичних кривих Без'є на кубічні

Квадратична крива Безьє з координатами перетворюється на кубічну криву Безьє з координатами.

Алгоритм Брезенхема - це алгоритм, що визначає, які точки двовимірного растру потрібно зафарбувати, щоб отримати близьке наближення прямої лінії між двома заданими точками. Це один із найстаріших алгоритмів у машинній графіці. Відрізок малюється між двома точками - (x0, y0) і (x1, y1), де в цих парах вказані колонка і рядок, відповідно, номери яких ростуть праворуч і вниз. Спочатку ми будемо припускати, що лінія йде вниз і вправо, причому горизонтальне відстань x1 − x0 перевершує вертикальне y1 − y0, тобто. нахил лінії від горизонталі – менше 45°. Наша мета полягає в тому, щоб для кожної колонки x між x0 і x1 визначити, який рядок y найближчий до лінії, і намалювати точку (x,y). Загальна формула лінії між двома точками: Оскільки ми знаємо колонку — x, то рядок - y - виходить округленням до цілого наступного значення: Однак, обчислювати точне значення цього виразу немає необхідності, достатньо помітити, що y росте від y0 і за кожен крок ми додаємо до x одиниці і додаємо до y значення нахилу

---