Гравітація та топологія III3 O, ( 8

(Н-х)2 (Hf 2і) = 0, (8.15)

(І-х)(І-х')(І + і + >с') = 0. (8.16)

(Йдучи дещо убік, зауважимо, що, як відомо, мінімальне рівняння для матриці тісно пов'язане з її жердановою нормальною формою; саме на основі розгляду жерданових нормальних форм були спочатку відкриті класи Петрова.)

Тут величини і %' суть комплексні числа, єдиним чином обумовлені конформним тензором; вони звуться скалярних інваріантів чи власних значень конформного тензора.

Користуючись рівняннями (8.7) - (8.10), можна тривіально пояснити так звані «теореми складання». Якщо при фіксованих gab і ка складаються два конформні тензори, то сума принаймні настільки ж спеціальна (у сенсі діаграми Пенроуза), як найбільш загальний із двох доданків. Таким чином, додавання тензорів класів N-J-III з однаково кратними ізотропними напрямками дає інший тензор класу III з тими ж трикратними ізотропними напрямками і т.д.

Може виникнути враження, що ці теореми додавання представляють суто алгебраїчний інтерес; насправді вони служать алгебраїчною основою теореми розщеплення, яка буде розглянута в наступній лекції.

У своїй оригінальній роботі Пірані, ґрунтуючись на аналогії з електромагнітною теорією, висловив припущення, що поле гравітаційного випромінювання має конформний тензор класу N (чотириразове виро-

Стаття 4. Р. Сакс

чення головних ізотропних напрямів). Як було потім показано, плоским гравітаційним хвиль дійсно відповідає конформний тензор класу N. Однак згодом з'ясувалося, що в будь-якому досить загальному випадку конформний тензор є алгебраїчно загальним (безвиродження за основними ізотропними напрямами). Взаємозв'язок між класом алгебри конформного тензора і випромінюванням справедлива, як правило, тільки асимптотично в асимптотично плоскому просторі. У такому просторі різні алгебраїчні спеціальні класи з'являються як домінуючі члени при розкладанні тензора Рімана в ряд за ступенем 1 Ir. Зокрема, перший, порядку 1 Ir, член завжди належить до класу N.

Для опису члена порядку Ilr1 у подібному розкладі штучно створюється додатковий клас: кажуть, що конформний тензор має геодезичні промені (і позначають його як G), якщо принаймні один із його головних ізотропних напрямів щодо конгруенції ізотропних геодезичних. Як ми побачимо, конформні тензори з геодезичними променями проміжні по спільності між конформними тензорами класу I і спеціальними алгебраїчними конформними тензорами завжди, коли Rab = 0.

Цікаво проаналізувати рівняння геодезичного відхилення у спеціальному випадку

Rabz = 0, Cabcd = Nabcd.

Річ у тім, що такий аналіз гранично ясно показує, у сенсі асимптотическое полі від обмежених джерел складається з поперечного випромінювання. Припустимо, що ми маємо пробну частинку, що рухається геодезичною зі світовою швидкістю Л причому еаеа = -1. Відносне прискорення сусіднього пробного тіла, віддаленого від першого на нескінченно малий інтервал уа (причому уаеа = 0), виявляється рівним

(У?/); з =? = BaAitfiVj*- (8-17)

При зазначених вище обмеженнях існує деякий напрямок луча ка, що визначається як квадрупольний головний ізотропний напрямок. Нехай za — Ika + Гравітаційне випромінювання

+ е° (еакь)]1 (ескс) — одинична проекція напрямку променя на систему, що вільно падає разом зпершою часткою. Виходячи із встановлених раніше співвідношень, знайдемо, що в такій вільній системі відносне прискорення у напрямку осі z дорівнює нулю; з іншого боку, в (поперечній) площині X, ми маємо

у випадку суперпозицію двох станів (фіг. 10). В асимптотично плоских полях амплітуди цих двох станів даються дійсною та уявною частинами C00.

IX. Теорема розщеплення та алгебраїчні спеціальні поля

Тепер ми розглянемо, як структура алгебри конформного тензора пов'язана з поведінкою полів при переміщенні від точки до точки в просторі - часу. Головний результат, до якого ми прийдемо, – це так звана теорема розщеплення.

У найбільш загальній формі, що застосовується до асимптотично плоских полів, розглянутих у лекції IV, теорема розщеплення стверджує, що тензор Рімана таких полів (рівний через співвідношення Rab - 0 конформного тензора) має вигляд

C = NIr + III/г2 + Ii/r3 + GZr1 + IIr5 + 0 (Г6). (9.1)

Індекси тут не вказані; символи позначають класи алгебри, а індекси «0» під ними вказують тензоры, ковариантно постійні вздовж променів. Можна уявляти поведінку (9.1), кажучи, що це чотири головних 134

Стаття 4. Р. Сакс

ізотропні напрямки збігаються в наближенні порядку 1 Ir, а потім відщеплюються одне за одним. Член N про-

порціональний C00 (і, 8, ф), що явно характеризує зв'язок функції інформації C0 з асимптотичним полем випромінювання. Аналогічні результати справедливі для алгебраїчних спеціальних полів, причому їх можна отримати локально без будь-яких хитромудрих граничних умов, начебто використаних у лекції IV; саме локальне дослідження алгебраїчних спеціальних полів спочатку призвело до розуміння асимптотично плоских полів.Теорема розщеплення виявилася корисною також при порівнянні різних підходів до асимптотично плоских полів. Попередня 42 43 44 45 46 47 .. 97 >> Наступна

---