Характеристики випадкових функцій

Для випадкових функцій вводять найпростіші основні характеристики, аналогічні до числових характеристик випадкових величин. Для випадкових величин числові характеристики є деякі числа. Характеристики випадкових функцій у випадку - функції.

Математичним очікуванням (середнім за множиною або по ансамблю) випадкової функціїX(t) називається така функція, значення якої при кожному даному значенні аргументуt дорівнює математичному очікуванню значень випадкової функціїх у своїйt :

Отже, знаходження випадкової функції необхідно задати її одномірний закон розподілу. Математичне очікування випадкової функції є деяку середню лінію, біля якої групуються і щодо якої коливаються всі можливі реалізації випадкової функції. Це є середнє значення, визначене на підставі спостережень над багатьма однотипними системами, що знаходяться за однакових умов в ті самі моменти часу. Ця величина залежить від моменту часуt, для якого вона визначається, і іноді називається статистичним середнім.

Дисперсія випадкової функції. Дисперсією випадкової функціїX(t) називається невипадкова функціяDx(t), значення якої для кожного значення аргументуt збігається зі значенням дисперсії відповідного перерізу випадкової функції:

Ця функція характеризує розкид можливих реалізацій випадкової функції щодо математичного очікування.

Для опису тісноти зв'язку між значеннями випадкової функції різні моменти часуt1,t2 служить кореляційна функція.

Кореляційна функція. Кореляційною функцією випадковогопроцесуX(t) називається невипадкова функція двох аргументівKx(t1,t2), яка за кожної пари значеньt1 іt2 дорівнює кореляційному моменту відповідних перерізів випадкової

Розкривши символ математичного очікування, отримаємо:

Покладемоt1 =t2, тоді

тобто. за рівності аргументів кореляційна функція перетворюється на дисперсію випадкової функції.

Як основні характеристики випадкової функції досить розглядати її математичне очікування та кореляційну функцію.

Оскільки кореляційний момент двох випадкових величинX(t1) таX(t2) не залежить від порядку, в якому розглядаються ці величини, то кореляційна функція симетрична щодо своїх аргументів:

Імовірнісні характеристики, визначені як середні за множиною реалізацій, характеризують випадковий процес загалом. Розрізняють ще характеристики, як середні за часом, які характеризують одну реалізацію випадкового процесу.

НехайX1(t) - одна реалізація процесу. Тоді її середнє значення за часом дорівнюватиме:

Так само можна визначити і всі інші ймовірнісні характеристики для однієї реалізації. Наприклад, середній квадратX1(t) дорівнює:

Дисперсія однієї реалізації випадкового процесу дорівнює:

---