Характеристики випадкових сигналів
Оскільки всі інформаційні сигнали і перешкоди є випадковими і може бути передбачені лише з певною мірою ймовірності, то для опису таких сигналів використовується теорія ймовірностей. При цьому використовуються статистичні характеристики, які одержують шляхом проведення численних дослідів у однакових умовах.
Усі випадкові явища, вивчені теорією ймовірностей можна розділити втричі групи: — випадкові події; - випадкові величини; - випадкові процеси.
Випадкова подія — це будь-який факт, який у результаті досвіду може статися чи не статися. Випадковою подією є поява на вході приймача або прийом повідомлення з помилкою. Випадкові події позначаються латинськими літерами А, В, С.
Числовими характеристиками випадкової події є: 1. Частота появи випадкової події:
де m - кількість дослідів, в яких відбулася дана подія; N - загальна кількість проведених дослідів.
Як випливає з виразу (40) частота появи випадкової події не може перевищувати 1, тому що кількість дослідів, в яких відбулася дана подія, не може перевищити загальну кількість проведених дослідів. 2. Імовірність появи випадкової події:
Т. е. Імовірність появи випадкової події є частота його появи при необмеженому збільшенні кількості проведених дослідів. Імовірність появи події не може перевищувати 1. Випадкова подія, що має ймовірність рівну одиниці є достовірною, тобто вона обов'язково відбудеться, тому таку ймовірність мають події, що вже відбулися. Випадкова величина - це величина, яка від досвіду до досвіду змінюється випадковим чином. Випадковою величиною є амплітуда перешкоди на вході приймача або кількість помилок уприйнятому повідомленні. Випадкові величини позначаються латинськими літерами X, Y, Z, які значення — x, y, z. Випадкові величини бувають дискретними та безперервними. Дискретною називається випадкова величина, яка може набувати кінцевої множини значень (наприклад, кількість обладнання, кількість телеграм і т. д., тому що вони можуть приймати тільки ціле число 1, 2, 3, …). Безперервною називається випадкова величина, яка може приймати будь-які значення з деякого діапазону (наприклад, амплітуда перешкоди на вході приймача може приймати будь-які значення, так само як і будь-які значення може приймати інформаційний аналоговий сигнал).
Числовими, статистичними характеристиками, що описують випадкові величини є: 1.Функція розподілу ймовірності.
Ця функція показує можливість, що випадкова величина Х перевищить конкретно обраного значення x. Якщо випадкова величина є дискретною, то F(x) так само є дискретною функцією, якщо Х безперервна величина, то F(x) ? безперервна функція. 2.Щільність розподілу ймовірності.
Ця характеристика показує можливість потрапляння значення випадкової величини в малий інтервал dx в околиці точки х', тобто в заштриховану область (малюнок).
3.Математичне очікування.
де хі - значення випадкової величини; Р(хi) - ймовірність появи цих значень; n - кількість можливих значень випадкової величини.
де р(х) - густина ймовірності безперервної випадкової величини.
За своїм змістом математичне очікування показує середнє і найбільш ймовірне значення випадкової величини, тобто це значення найчастіше набуває випадкової величини. Вираз (44) застосовується, якщо випадкова величинає дискретною, а вираз (45), якщо вона є безперервною. Позначення M[X] є спеціальним для математичного очікування випадкової величини, яка вказана в квадратних дужках, однак іноді використовуються позначення mх або m.
4.Дисперсія.
Дисперсія кількісно характеризує рівень розкиду результатів окремих дослідів щодо середнього значення. Позначення дисперсії випадкової величини D[X] є загальноприйнятим, проте може використовуватися і позначення х. Вираз (46) використовується для обчислення дисперсії випадкової дискретної величини, а (47) - для обчислення дисперсії безперервної випадкової величини. Якщо витягти квадратний корінь з дисперсії, то вийде величина, звана середньоквадратичним відхиленням (х).
Усі характеристики випадкової величини можна показати малюнком 22.
Малюнок 22 - Характеристики випадкової величини
Випадковий процес — це така функція часу t, значення якої за будь-якого фіксованого значення часу є випадковою величиною. Наприклад, малюнку 23 показана діаграма деякого випадкового процесу, що спостерігається в результаті проведення трьох дослідів. Якщо визначити значення функцій у фіксований момент часу t1, отримані значення виявляться випадковими величинами.
Малюнок 23 - Ансамбль реалізацій випадкового процесу
Для характеристики випадкових процесів використовуються самі характеристики, як і випадкових величин: функція розподілу ймовірності, щільність розподілу ймовірності, математичне очікування і дисперсія. Дані показники розраховуються аналогічно, як й у випадкових величин. Випадкові процеси бувають різних типів. Однак у електрозв'язку більшість випадкових сигналіві перешкод відносяться до стаціонарних ергодичних випадкових процесів.
Стаціонарним є випадковий процес, у якого характеристики F(x), P(x), M[X] та D[X] не залежать від часу.Ергодичним є процес, у якого усереднення за часом однієї з реалізації призводить до тих же результатів, що і статичне усереднення за всіма реалізаціями. Фізично це означає, що всі реалізації ергодичного процесу схожі один на одного, тому виміри та розрахунки характеристик такого процесу можна проводити по одній (будь-якій) з реалізацій. Крім чотирьох характеристик наведених вище випадкові процеси також описуються функцією кореляції та спектральної щільністю потужності.
Функція кореляції характеризує ступінь взаємозв'язку між значеннями випадкового процесу різні моменти часу t і t+?. Де? тимчасове зрушення.
де tн - час спостереження реалізації xk (t).
Спектральна густина потужності — показує розподіл потужності випадкового процесу за частотами.
де ?Р - Потужність випадкового процесу, що припадає на смугу частот ?f.
Отже, спостереження випадкового явища у часі є випадковим процесом, його поява є випадковим подією, яке значення випадковою величиною.
Наприклад, спостереження телеграфного сигналу на виході лінії зв'язку протягом якогось часу — це випадковий процес, поява на прийомі його дискретного елемента «1» або «0» — випадкова подія, а амплітуда цього елемента — випадкова величина.