Ідемопотентність

Приклади ідемпотентних операцій:

• додавання з нулем: a = a + 0 = (a+0) + 0 = ((a+0)+0) + 0 = . ;
• множення на одиницю: x = x * 1 = (x * 1) * 1 = ((x * 1) * 1) * 1 = . ;
• модуль числа: x = (x) = ((x)) = . ;
• пошук максимального значення: \ max (x, y) = \ max ( \ max (x, y), y) = \ max (x, \ max (x, y));
• обчислення найбільшого загального дільника: \operatorname(x,y) = \operatorname( \operatorname(x,y), y) = \operatorname( x, \operatorname(x,y) );
• додавання по модулю 2 з нулем: a = a \oplus 0 = (a \oplus 0) \oplus 0 = . ;
• знаходження залишку від розподілу: r = amod b = ( amod b )mod b = .

Зміст

Ідемпотентний елемент (ідемпотент) в алгебрі - елемент напівгрупи, що зберігається при множенні самого на себе: e 2 = e.Теорема про ідемпотентсвідчить: у кінцевій напівгрупі є ідемпотент.

Ідемпотентний елемент eміститьідемпотентний елемент f (позначається e\geqslant f), якщо ef=e=fe. Відношення \geqslant є ставленням часткового порядку у множині E ідемпотентних елементів і називається природним частковим порядком на множині E.

Два ідемпотентні елементи асоціативного кільця (яке буде напівгрупою за множенням) u і v називаютьсяортогональними, якщо u v = 0 = v u.

У математиці

Ідемпотентна бінарна операція в математиці — операція, щодо якої кожен елемент має ідемпотентність у вищезгаданому значенні:

\forall x: \quad x \cdot x = x \!

Цю властивість мають, наприклад, логічне І та логічне АБО.

Ідемпотентна унарна операція - операція, для якої виконується

\forall x: f(f(x)) = f(x) або f \circ f = f.

З лінійних операторів у \mathbb^n ідемпотентні тількитотожний оператор, нульовий оператор та паралельна проекція. Тому проектор в алгебрі - у тому числі в нескінченномірних просторах - визначається як P\circ P = P.

В інформатиці

Ідемпотентна операція в інформатиці - дія, багаторазове повторення якого еквівалентно одноразовому.

Прикладом такої операції можуть бути GET-запити в протоколі HTTP. За специфікацією, сервер повинен повертати одні й самі відповіді на ідентичні запити (за умови, що ресурс змінився з-поміж них з інших причин). Така особливість дозволяє кешувати відповіді, знижуючи навантаження на мережу.

Література

• Peirce B.Linear Associative Algebra. 1870.

• Idempotent. Encyclopedia of Mathematics. Springer (Translation of Soviet Mat. Enc.).
• Іванова О. А. Ідемпотент // Математична енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

---