Іфікація задач прийняття рішень
Для класифікації завдань прийняття рішень представимо докладніше завдання ПР як сімки.
Z- Опис предметної області, в якій приймається рішення.
Ω - Безліч альтернатив
K- Безліч критеріїв оцінки альтернатив.
S-Багато шкал вимірювання за критеріями.
F- Відображення безлічі альтернатив у безліч критерій оцінок F(X) = Y
G- Система переваг
P- Вирішальне правило, що відображає систему переваг.
Будь-який з елементів цієї сімки може бути класифікаційною ознакою завдань ПР. однак, в основному для класифікації використовуються тип відображення F, потужність множини До, тип системи перевагGі характеристики області допустимих рішеньXеΩ.
Відображення X безліч критеріальних оцінок може бути детермінованим, імовірнісним або невизначеним. Тому завдання прийняття рішень можна поділити на ПР в умовах певності, ризику та невизначеності.
ПР в умовах певності передбачає детерміноване (взаємнооднозначне) відповідність між Xіk.
ПР в умовах ризику відповідає ймовірності відображення Xвk.
ПР в умовах невизначеності не передбачає відповідності Xіk.
Якщо K-скаляр - це однокритеріальна завдання ПР. Якщо K-вектор - це завдання багатокритеріальної (векторної) оптимізації.
Зазначимо, що завдання ПР зі скалярним критерієм є тривіальною задачею оптимізації у разі детермінованого відображення F. Як тільки вирішальний елемент має справу з ПР при ймовірнісному характері відображення F, або апріорі невідомому (невизначеному) F, то завдання ПР навіть зі скалярним критерієм відразу перестає бути тривіальною. (Див. малюнок).
а) вибір за одного критерію вумовах визначеності
б) вибір за одного критерію за умов ризику.
7.3. Багатокритеріальна оптимізація
У розділах 1-6 ми розглянули завдання, у яких потрібно вибрати рішення, що доставляє максимум (або мінімум) єдиного показника ефективності (критерію) k. Насправді часто виникає випадок, коли ефективність операції доводиться оцінювати по одному, а одночасно за кількома показникамиk1,k2,…,kL.
Оцінка діяльності заводу: прибуток, середня зарплата, обсяг виробничих фондів.
Оцінка навчання студента: оцінки з предметів.
Військова операція: втрати, ймовірність виконання завдання.
Одні з цих показників потрібно зробити більше, інші менше. Як правило, ефективність великих за обсягом, складних операцій, а також складних багатоцільових систем не може бути вичерпним чином охарактеризована за допомогою одного показника: на допомогу йому доводиться залучати й інші додаткові показники.
Головною особливістю цієї ситуації є те, що вимоги до всіх показників у реальних системах несумісні чи суперечливі. Як правило вимога maxk1 не звертає ні в максимум ні мінімум інші показники k2, k3, …. Тому широко поширене формулювання «досягнення максимального ефекту при мінімальних витратах» не є коректним. Коректними є такі формулювання:
1. Досягнення максимального ефекту при заданих затратах.
2. Досягнення заданого ефекту за мінімальних затрат.
Для зручності порівняння значень векторів k=(k1,k2,…kL) – іноді зручно заздалегідь привести всі показникиk1 ,k2 ….kL до стандартного виду, щоб усі критерії мінімізувалися і вони мали безрозмірний масштаб виміру. Векторний критерійстандартним, якщо він задовольняє умові ki≥0 і що меншеki, то краще операція (система). Таким чином, ідеальною є система, яка має ki=0. Нестандартний показник можна спричинити до стандартного.
Якщо k max i =∞ , то k ст i =1 ∕ki. Стандартний критерій можна задати у вигляді відношення: ki ст = (1 -ki / ki і), де ki і - ідеальне значення критерію (або певне значення, або maxki)
При цьому L-вимірному просторі задається вектор k, кожна компонента якого змінюється від 0 до 1. Повністю ідеальній системі відповідає k = 0.
Насамперед, аналіз векторів, відповідних альтернативам області допустимих альтернатив, дозволяє заздалегідь відкинути явно нераціональні варіанти рішень, що поступаються кращим варіантам за всіма показниками. Цей етап векторної оптимізації називаєтьсябезумовною оптимізацією.
Нехай аналізується бойова операція, що оцінюється за двома показниками.
k1 - ймовірність виконання бойового завдання;
k2 – вартість витрачених коштів.
Очевидно, перший показник бажано звернути в максимум, а другий у мінімум. Нехай пропонується вибір кінцеве число різних варіантів рішення, позначимо їх X1,X2, . Xn. До кожного відомі значення k1, k2. Зобразимо кожен варіант розв'язання як точки на площині з координатамиk1,k2. Коли X пробігають ОДР, точки k1, k2 заповнюють критеріальний простір рішень.
Отже, якщо деяка операція оцінюється декількома критеріями, кожне з яких є числом, то таке завдання називається завданням багатокритеріальної або векторної оптимізації. Для стандартних k це завдання має вигляд
k=(k1,k2, …,kL) =
7.2
Існує принципова труднощі в об'єктивній (безумовній) оцінці альтернатив при двох абоНайбільш критеріях. Вона пов'язана із проблемою порівняння двох векторів.
Безумовним критерієм переваги називають критерій, заснований на порівнянні компонент вектора. Два вектори критеріїв
k A іk B безумовно можна порівняти , якщо для будь-якоїl-ої компоненти вектора виконуються нерівності
Якщо все klmin, то альтернатива B безумовно краще (краще) A. Це означає, що А ніяк не може бути оптимальною і тому має бути відкинуто. Якщо знаки нерівностей для різних компонент вектора різні, то такі альтернативи безперечно незрівнянні. Розглянемо приклад.
Необхідно вибрати найкращих за успішністю студентів А,Б,В,Г,Д. Критеріями є оцінки з предметів М,N,O,P.
Проведемо безперечне порівняння векторів оцінок. Студент А не порівняємо з Б. У безумовно гірше Б - відкинемо В. Д безумовно гірше Б - відкинемо Д. А безумовно гірше Г - відкинемо А. Залишилися дві альтернативи Б і Г, які безумовно не порівняти.
Визначення. Безліч безумовно незрівнянних альтернатив, що залишилися після відкидання всіх безумовно гірших альтернатив називається безліччю Парето. Парето-оптимальну множину ще називають областю компромісів. Зрозуміло, що багато Парето можна отримати в результаті аналізу критеріального простору.
Таким чином, векторна оптимізація включає два етапи.
1.Безумовна оптимізація. Тут аналізується критеріальний простір, відсіваються безумовно найгірші варіанти та отримують безліч Парето.
2.Умовна оптимізація. Оскільки безліч Парето, зазвичай, складається з більш ніж однієї точки, то отримання єдиного рішення необхідно застосувати додаткові принципи оптимальності (умови узгодження критеріїв).