ІІ. Визначення переміщень у балках та рамах

Будь-яка споруда під впливом зовнішніх чинників деформується, змінюючи свою первісну форму і набуває форми рівноваги, у якому вплив зовнішніх впливів врівноважується внутрішніми силами опору. При цьому переміщення ∆kP довільної точкиT по заданому напрямкуk –k від навантаженняР може бути обчислено за універсальною формулою Мора, яка для балок і рам має вигляд:

∆kP =

Обчислення інтеграла Мора зручно проводити за правилом Верещагіна або правилом «перемноження» епюр. Визначення переміщень за допомогою цього правила провадиться в наступному порядку:

1. Будується епюра згинальних моментів від дії заданого навантаження - епюраМР (вантажна епюра);

2. Вибирається допоміжний одиничний стан системи. Для цього до балки або рами, звільненої від заданого навантаження, у напрямку шуканого переміщення прикладається одиниця : при визначенні лінійного переміщення -зосереджена сила, при визначенні кута повороту -зосереджений момент;

3. Будується епюра згинальних моментів від дії цієї одиничної сили -епюра;

4. Вісь балки (рами) розбивається на ділянки таким чином, щоб у межах ділянки епюриМР і не мали б особливостей (переломів та стрибків);

5. На кожному ділянці балки (рами) для обчислення інтеграла Мора за правилом Верещагіна або правилом «перемноження» епюр необхідно площу однієї епюри (якщо є криволінійна епюра, то обов'язково її площа) помножити на ординату іншої епюри, розташовану під центром тяжкості першої, т .е.

де - площа епюриМР ;zC – ордината в лінійній епюрі, під центром тяжкості епюриМР (рис.17);EJy – жорсткість поперечного перерізу балки (рами).

Результат «перемноження» епюр є позитивним, якщо епюриМР та одного знака і – негативним, якщо епюриМР та різних знаків.

Якщо ∆kP позитивно, то переміщення збігається з напрямком одиничної сили, а якщо негативно – протилежно цьому напрямку.

Рис.17. Правило Верещагіна

На погляд, описаний графоаналітичний метод обчислення інтегралів Мора дає спрощень, т.к. все одно доводиться обчислювати площу криволінійних епюр. Однак епюри, що зустрічаються на практиці, можуть бути розбиті на ряд простих фігур (прямокутник, трикутник, симетричну квадратичну параболу), у яких відомі площа і положення центру тяжіння. Приклади розбиття епюр наведено на рис. 18.

Мал. 18. Розбиття складних епюр на прості епюри

На рис.19 наведено відомості про координати центру тяжкості та площі найпростіших епюр – прямокутник, трикутники та симетрична квадратична парабола.

Мал. 19. Площі епюр та їх координати центрів тяжіння

Приклад. Визначити прогин (вертикальне переміщення) і кут повороту в перерізіB у статично визначеній балці (рис.20).

Рис.20. ЕпюриMP, та

Значення згинальних моментів.

;

Будуємо епюруМР від заданого навантаження -це парабола, опукла вниз (рис.20б).

Вибираємо одиничний стан – звільнивши балку від заданого навантаження, прикладаємо у точціB зосереджену силу =1, спрямовану вертикально вниз. Будуємо епюру від одиничноговпливу (рис.20в).

Епюру від заданого навантаженняМР розбиваємо на три найпростіші () – два трикутники та симетричну параболу (рис.21).

Площі цих епюр: ; .

Ординати в епюрі під центрами тяжкості відповідно рівні; ; .

Рис.21. Розбиття складної епюри на прості епюри. Перемноження епюр

Прогин у перерізіB дорівнює

vB =∆1P = =

=.

Позитивне значення прогину показує, що точкаB переміщається вниз у бік одиничної сили. Для визначення кута повороту вибираємо одиничний стан - звільнивши балку від заданого навантаження, прикладаємо в точціB зосереджений момент =1, спрямований протягом годинної стрілки. Будуємо епюру від одиничного впливу (рис.20г). Оскільки ординати епюри від одиничного моменту скрізь дорівнюють одиниці, а площі найпростіших вантажних епюр знайдені вище, визначаємо кут повороту в перерізіB

jB = ∆2P = = .

Позитивне значення кута повороту показує, що перетинB повертається протягом годинної стрілки в напрямку одиничного моменту.

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно

---