ІнМu_lectures
Лекції з курсу
Частина I. Когомології Де Рама та інтегрування
диференціальних форм на різноманіттях
Тема 1. Речові та комплексні різноманіття
Лекція 1. Поняття різноманіття. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Передмова (8). Топологічний простір. Свій-
ство хаусдорфовості (10) . Визначення топологічного
різноманіття (14). Гладкі різноманіття (16). Комплекс-
ні різноманіття (20)
Лекція 2. Класичні приклади різноманіття. . . . . . . . . . . .
Різноманіття рівня (22). Речовинна проективна
площину (25). Речовий та комплексний проектив-
ний простір (29) . Проектна пряма CP 1 як
сфера Рімана (31) . Риманові поверхні (32). Топо-
логічний твір різноманіття (34)
Лекція 3. Розбиття одиниці та теорема Сарда. . . . . . . . . . . .
Формулювання теореми про розбиття одиниці (35). Функ-
ція шапочки та допоміжні затвердження (36) . До-
Казацтво теореми 1 (39) . Теорема Сарда (41)
Лекція 4. Відображення різноманіття, їх диференціали та каса-
Відображення різноманіття (43) . Три визначення каса-
ного вектора (44) . Диференціал відображення (49).
Відносне розшарування та векторні поля (50)
Лекція 5. Вкладення різноманітностей та їх тріангульованість. . . . .
Визначення іммерсії та субмерсії різноманіття (51) .
Компактні різноманіття (52). Вкладення різноманіття в евклідове простір (54) . Тріангулюваність компактних різноманітностей (57)
Тема 2. Диференціальні форми на різноманіттях
Лекція 6. Поняття диференціальної форми. . . . . . . . . .
Навідні міркування (58). Визначення і каноніч-
ський вид диференціальної форми (61). Додавання
зовнішнє множення диференціальних форм (65)
Лекція 7. Диференціал форми. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Диференціал форми (67). Властивості диференціалу
(68). Коректність визначення диференціалу (69)
Тема 3. Інтегрування диференціальних форм
Лекція 8. Орієнтованість різноманітностей. . . . . . . . . . . . . . .
Визначення орієнтованого різноманіття (72). Орі-
ентованість комплексних аналітичних багатообра-
зій (74) . Орієнтованість мовою диференціальних
Лекція 9. Інтеграл диференціальної форми по орієнтованому
Визначення інтеграла диференціальної форми (78).
Різноманітність із краєм (81)
Формула Стокса (84). Важливі наслідки формули
Тема 4. Когомології де Рама як багатовимірна теорія неопре-
Лекція 11. Когомології де Рама. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Когомології де Рама різноманіття X (89). Приклади (91)
Лекція 12. Теорема Пуанкаре. Гомотопічна інваріантність
груп когомологій. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Індуковані гомоморфізми просторів дифферен-
циальних форм (94) . Теорема Пуанкаре (95). Збіг
груп когомологій у гомотопічно еквівалентних багато-
Лекція 13. Приклади гомотопічно еквівалентних різноманітностей. 99
Гомотопічна еквівалентність зоряної області та крапки (99) . Гомотопічна еквівалентність R n та S n−1
(100). Гомотопічна еквівалентність сфери та комплексної квадрики (101)
Лекція 14. Когомології сфери. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Ще одинспосіб обчислення когомологій кола S 1
(104) . Когомології сфери S n (106). Когомології комплексної квадрики (110)
Лекція 15. Когомологічна послідовність Майєра-В'єторіса 111
Когомологічна послідовність Майєра
В'єторіса (111) . Принцип Майєра-В'єторіса (113)
Частина ІІ. Інші типи когомології. Деякі ме-
тоді обчислення кратних інтегралів
Тема 5. Когомології Чеха та теореми де Рама
Лекція 16. Когомології Чеха. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Когомології Чеха зі значеннями R (118) . Коцепі зі зна-
ченнями у просторі диференціальних форм (119)
Лекція 17. Доказ теореми де Рама. .
Подвійний комплекс Чеха-де Рама (124).
теореми де Рама (127)
Лекція 18. "Абстрактні" когомології симпліціальних комплексів 129
Анотація когомології симпліціальних комплексів
(129) . Посилена теорема де Рама (131)
Лекція 19. Інтеграли з ланцюгів, теорема двоїстості де Рама. 135
Інтеграли по диференційованих сингулярних ланцюгах
(135) . Теорема двоїстості де Рама (137). Загальні відомості з теорії лінійних просторів (138). Доказ першої частини теореми двоїстості (141)
Тема 6. Когомології Чеха зі значеннями в пучку та обчислення
Лекція 20. Пучки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Походження: завдання Міттаг-Леффлера (144). Пучки (145). Відображення пучків (146)
Лекція 21. Когомології пучків. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Коцепі (150) . Гарні покриття. Теорема Лере (152).
Основна когомологічна послідовність (152).
Тонкі пучки (155)
лекція 22.Пучки голоморфних форм на комплексних різноманіттях 156
Теорема Дольбо (156). Приклади обчислень когомологій
Лекція 23. Застосування теорії когомологій до обчислення тополо-
гічних зарядів у теорії інстантонів полів Янга-Мілса. . . 162
Обчислення обсягу CP 2 у метриці Фубіні-Штуді (162) .
Про перетворення інтегралів за компактними аналітичними різноманіттями до відрахувань (165)
Тема 7. Метод розділяючих циклів у теорії локальних відрахувань 168
Лекція 24. Локальні відрахування та його основні властивості.
Багатовимірних відрахувань багато навіть в одній
(168) . Локальний відрахування, асоційований з голоморф-
ним відображенням (169) . Вираз локального відрахування через слід (172). Формула заміни змінних (173)
Лекція 25. Метод поділяючих циклів у задачах обчислення соб-
ственных інтегралів від мероморфних форм. . . . . . . . . . . 175
Цикли, що розділяють n дивізорів у n-мірному різноманітті (175). Критерій поділяючих циклів (177). Розділяючі цикли поліедрах (179) . Теорема про відрахування в
Лекція 26. Метод розділяючих циклів у задачах обчислення
невласних інтегралів (багатомірна версія леми Жор-
Інтеграли з кістяків необмежених поліедрів (183) .
Процедура замикання кістяка інтегрування (184) .
Багатомірна версія леми Жордана (185)
Лекція 27. Застосування багатовимірної версії леми Жордана до ви-
чисельності інтегралів Меліна-Барнса. . . . . . . . . . . . . . 189
Визначення інтеграла Мелліна-Барнса (189). Подання інтеграла Мелліна-Барнса через суму відрахувань (190)
Лекція 28. Багатовимірні перетворення Меліна та їх звернення 194
Визначення перетворень Меліна (194). Класи M Θ U ,
W UΘ та формулювання теорем звернення (195) . Доказ другої формули звернення (197). Доказ першої формули звернення (201)
Лекція 29. Формула Мелліна для вирішення загального алгебраїчного
Загальне рівняння алгебри та його лінеаризація (205) . Перетворення Мелліна на вирішення y(x) (206) .
Подання y(x) у вигляді інтеграла Меліна-Барнса (208)
Лекція 30. Аналітичне продовження загальної алгебраїчної
Ряд Тейлора для загальної функції алгебри (209) .
Ряди Пюізо для y(x) (212)
Когомології Де Рама та інтегрування диференціальних форм на різноманіттях
Тема 1. Речові та комплексні різноманіття
Визначення різноманіття, класи топологічних, гладких, аналітичних різноманітностей. Найпростіші приклади різноманіття. Топологічні простори, які є різноманіттями. Комплексні різноманіття.
Поняття різноманіття є одним із основних понять у геометрії, воно виникає в багатьох розділах математики, фізики та механіки. Це поняття застосовується практично у всіх ситуаціях, коли об'єкти, що розглядаються, можуть бути параметризовані наборами дійсних чисел. Точками різноманіття при цьому можуть бути об'єкти будь-якої природи - прямі, сфери, матриці, стани механічної системи та ін.
Дослідження різноманіття розпочалися у другій половині IX століття. Ці об'єкти природно виникли щодо диференціальної геометрії і теорії груп Лі. Поняття багатовимірного різноманіття було вперше сформульовано Б. Ріманом в лекції "Про гіпотези, що лежать в основі геометрії" (1854). У 1913 р. Р. Вейль запровадив поняття абстрактної риманової поверхні, тобто. одновимірного комплексного різноманіття. Перші суворі визначення було надано у 30-х роках XX століття.
Будь-яке різноманіття X можна мислити як безліч точок, локально влаштоване подібно до евклідового простору R n , тоді як глобальна структура цієї множини може відрізнятися від структури евклідового простору.
∆ Кратне інтегрування. Когомології
Які ж методи придатні визначення та вивчення об'єктів такого роду? Як правило, пред'явити їхню глобальну параметризацію неможливо. Однак в околиці кожної точки ці об'єкти параметризуються евклідовими координатами, тому напрошується ідея покрити X координатними околицями (або картами) і "зібрати" саме різноманіття з цих карт, подібно до того, як поверхня землі може бути представлена набором карт географічного атласу. Щоб використовувати окремі карти вивчення структури різноманіття загалом, необхідно знати, як переходити від однієї карти до іншої, тобто. як "склеюються" карти по їх спільній частині. На мові координат точки це означає, що потрібно вміти виражати координати точки в одній карті через координати в іншій (якщо, звичайно, точка належить обом картам).
влаштована як область в R 2
Атлас географічних карт
Функції, що виражають залежність одних локальних координат точок з інших, називаються співвідношеннями сусідства. Можна накладати на співвідношення сусідства додаткові обмеження, наприклад, вимагати, щоб вони задавалися диференційованими і навіть аналітичними функціями. Тим самим ми обмежимося вивченням лише добрих класів різноманіття — гладких чи аналітичних.
І.А. Антіпова, О.В. Знам'янська, А.К. Цих ∆
2. Топологічні простори. Властивість хаусдорфовості
Ми хочемо надати суворий сенс поняття різноманіття X, мислячи його об'єктом, локально влаштованим як Rn.Нагадаємо, що вираз "X локально влаштований як евклідовий простір" для нас означає, що околиця будь-якої точки X можна безперервною деформацією перетворити до R n . Отже, щоб дійти суворого визначення, необхідно формалізувати поняття околиці точки множини, і навіть поняття безперервної деформації. Суворою мовою для опису цих понять є мова топології, а саме, поняття топологічного простору, безперервного відображення та гомеоморфізму.
Нехай X - довільна непорожня множина.
Визначення 1.1. Топологічним простором називається довільна непуста множина X , в якій виділено деяке сімейство підмножин τ (званих відкритими), що задовольняє наступним вимогам:
2) об'єднання будь-якої сукупності множин із τ знову є елемент τ;
3) перетин кінцевого числа множин з τ знову є елемент τ.
Околицею точки топологічного простору називатимемо будь-яке відкрите безліч, що містить цю точку.
У еталонному нам просторі R n топологія визначається з допомогою метрики (відстань)
x − y = (x 1 − y 1 ) 2 + · · · + (x n − y n ) 2 .
Така метрика називається евклідовою. У ній найпростіші відкриті множини - це відкриті кулі.