Інтеграл Бесселя, Інтеграл Пуассона - Циліндричні функції

Інтеграл Бесселя

За цілих значень числа n функція може бути представлена ​​у вигляді особливого певного інтеграла, знайденого Бесселем. До нього можна прийти, виходячи з наступного завдання. Функція парна функція відносно має період 2. Відповідно до теорії рядів Фур'є вона повинна розкладатися в ряд Фур'є, розташований по косинусах кратних кутів, а саме має бути справедлива рівність:

де коефіцієнти визначаються формулою:

Безпосередньо обчислити цей інтеграл важко. Можна вибрати інший шлях для знаходження коефіцієнтів. Помічаючи, що

і вводячи позначення , зможемо переписати рівність (1) у такому вигляді:

Задовольнити цю рівність легко. Для цього пишемо:

Перемножуючи ці ряди, отримаємо розкладання величини за ступенями t. Коефіцієнт повинен дорівнювати величині .

У правій частині вийде у разі, якщо , т. е. якщо , де m = 0, 1, 2, 3, . У цьому виявиться: . Тому рівність (7) можемо переписати так:

Порівнюючи отриману рівність з (3) і (2), знаходимо:

Зауважимо, що за якістю інтегралів від парних і непарних функцій справедливі рівність:

Помноживши друге і склавши з першим, отримаємо після підстановки отриманого в (9):

За допомогою рівності рівняння (10) можна написати так:

Вважаючи, після перетворення отримаємо:

Так як підінтегральна функція періодична, то замість меж інтегрування можна взяти будь-які числа, аби вони теж відрізнялися один від одного на 2. Тому можемо написати:

Останнє можна переписати ще й так:

Це і є інтеграл, знайдений Бесселем. Попередній висновок суттєво припускає, що n ціле число. При n нецілому формула (14) стає невірною і повинна бути замінена іншою, що виходить більшескладним шляхом. Вона має такий вигляд:

Інтеграл Пуассона

Для вивчення властивостей Безселевих функцій має значення інше інтегральне уявлення їх, відкрите Пуассоном. Воно може бути отримано, виходячи з розкладання цих функцій у статечний ряд, тобто з рівності:

Помножимо чисельник і знаменник загального члена ряду Г( і скористаємося формулою (6) § 8 гл. I, яка при s=, набуває вигляду:

Після цього загальний член ряду набуває вигляду:

Останнє ж очевидно дорівнює такому виразу:

Останній множник є нічим іншим, як функція B (p,q) при

Тому, якщо скористатися виразом B(p,q)= B(q,p) у вигляді певного інтеграла, то величина (3) набуває вигляду:

Вважаючи і підставляючи перетворену величину (4) у рівність (1), знаходимо:

Тут можна переставити підсумовування та інтегрування. Після цього під знаком інтеграла вийде величина

очевидно рівна величині.

Тому рівність (5) перетворюється на таке:

За якістю інтегралів від парних функцій його можна переписати і так:

Вважаючи t = sin, отримаємо початкову формулу Пуассона:

Зрозуміло, що інтеграли (6), (7) і (8) мають сенс лише за умови, що n+> 0, інакше вони не будуть схожими, так як при t або величини або прагнутимуть до швидше, ніж це слід для збіжності.

---