Інтегрування частинами
У цій частині ми продовжимо тему інтегрування частинами в невизначеному інтегралі, розпочату тут. Знову нам будуть потрібні таблиця невизначених інтегралів та таблиця похідних. Перед прочитанням цієї сторінки рекомендую ознайомитись з попередньою частиною, бо там були дано повні пояснення до кожного прикладу. Тут же будуть порушені інтеграли, які не підпадають під стандартні правила, зазначені в першій частині, але беруться за допомогою інтегрування частинами. Ми будемо використовувати ту ж формулу, що й раніше:
$$(1)\,\,\,\, \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du $$
Також розглянемо інтеграли, при обчисленні яких утворюється рівняння щодо вихідного інтеграла.
Знайти $\int \ln^2 x \; dx$.
У цій ситуації нам потрібно позбутися логарифму. Для цього приймемо $u=\ln^2 x$, тоді $du=(\ln^2 x)'dx=2\ln x\cdot \fracdx=\fracdx$. Якщо $u=\ln^2 x$, то для $dv$ маємо: $dv=dx$, звідки $v=x$. Інтегрування частинами (тобто формулу (1)) доведеться застосовувати двічі:
$$ \int \ln^2 x \; dx=\left \begin & u=\ln^2x; \; du=\fracdx.\& dv = dx; \; v = x. \end \right =\ln^2x\cdot x-\int x\cdot \fracdx=\ =x\cdot \ln^2x-2\int \ln x\; dx=\left \begin & u=\ln x; \; du=\fracdx.\& dv = dx; \; v = x. \end \right =x\cdot \ln^2x-2\cdot \left(x\cdot \ln x -\int x\cdot \frac \; dx \right)=\ =x\cdot \ln^2x -2 x \n x +2\cdot \int dx = x\cdot \ln^2x-2 x \ln x +2x+C. $$
Відповідь: $\int \ln^2 x \; dx=x\cdot \ln^2x-2 x \ln x +2x+C$.
Щоб взяти даний інтеграл, потрібно відразу помітити, що $ d (x) = frac $. Тобто. заданий інтеграл можна представити в такій формі: $ int x d (tg x) $. Тому приймаємо $u=x$, $dv=\frac$. Використовуємо формулу (1):
Цей прикладзаснований на тій самій ідеї, що й попередній, тому я б радив вирішити його самостійно, звіряючись із наведеним нижче коротким рішенням. Знову застосовуємо інтегрування частинами:
$$ \int \fracdx=\left \begin & u=\ln\sin x; \; du = fracdx = ctg x \; dx.\\ & dv = frac; \; v = tg x. \end \right =\tg x\cdot \ln\sin x-\int \tg x \cdot\ctg x \; dx=\=x\cdot \ln\sin x-\int dx=\tg x\cdot \ln\sin x-x+C. $$
Нам потрібно позбутися арктангенсу. Для цього приймемо $u=\arctg x$, тоді $du=(\arctg x)'dx=\frac$. Оскільки вибір $u$ здійснено, то для $dv$ залишається лише $dv=\frac>dx$. Тоді для функції $u$ отримаємо:
Приймаючи $C=0$, отримаємо $v=\sqrt$.
Знайти $\int \arcsin^2 x\;dx$.
Потрібно позбутися арксинусу, тому приймемо $u=\arcsin^2x$, тоді $du=2\arcsin x\cdot \frac>dx=\frac>dx$. Відповідно для $v$ маємо: $dv=dx$, $v=x$. Інтегрування частинами (формулу (1)) потрібно буде застосувати двічі:
Відповідь: $\int \arcsin^2 x\;dx=x\cdot \arcsin^2x+2\sqrt\cdot\arcsin x-2x+C$.
Найчастіше інтегрування частинами невизначеному інтегралі призводить до рівняння з вихідним інтегралом. Розберемо кілька прикладів.
Цей невизначений інтеграл можна взяти у різний спосіб. Один із них – це інтегрування частинами. Позначивши $u=sqrt$, $dv=dx$, отримаємо: $du=\frac>$, $v=x$.
Навіщо інтегральну константу представили як $2C$ буде ясно з подальшого. Отже, ми здобули таку рівність:
Перенесемо інтеграл $\int\sqrt\; dx$ з правої частини цієї рівності до лівої. Тоді в лівій частині стане вже два такі інтеграли:
Розділимо обидві частини отриманої рівності на $2$:
Знайти $\int\cos\ln x\;dx$.
Метод вирішення цього прикладу аналогічний застосованому у попередньомуприклад №6:
$$ \int\cos\ln x\;dx=\left \begin & u=\cos\ln x; \; du=-\fracdx.\& dv = dx; \; v = x. \end \right =x\cdot \cos\ln x+\int x\cdot\fracdx=\ =x\cdot \cos\ln x+\int \sin\ln x dx=\left \begin & u=\sin\ln x; \; du=\fracdx.\& dv = dx; \; v = x. \end \right=\\ =x\cdot \cos\ln x+x\cdot\sin\ln x-\int x\cdot\frac>dx =x\cdot \cos\ln x+x\cdot\sin \ln x-\int \cos\ln x \;dx $$
Отже, ми здобули рівняння з шуканим інтегралом:
$$ \int\cos\ln x\;dx=x\cdot \cos\ln x+x\cdot\sin\ln x-\int \cos\ln x \;dx $$
Переносячи $\int \cos\ln x \;dx$ з правої частини в ліву, матимемо:
$$ 2\int\cos\ln x\;dx=x\cdot \cos\ln x+x\cdot\sin\ln x+2C. $$
Ділячи обидві частини останньої рівності на $2$, отримаємо:
$$ \int\cos\ln x\;dx=\fracx\cdot \cos\ln x+\fracx\cdot\sin\ln x+C=\frac\cdot (\cos\ln x+\sin\ln x) +C. $$
Відповідь: $ \ int \ cos \ ln x \; dx = \ frac \ cdot ( \ cos \ ln x + \ sin \ ln x) + C $.
Вважаю, що читач тут не обійдеться без питання, яке я викладу нижче.
Стривайте, тут щось не сходиться. Звідки узялася константа $C$? У нас була рівність
$$ \int\cos\ln x\;dx=x\cdot \cos\ln x+x\cdot\sin\ln x-int \cos\ln x \;dx. $$
Якщо перенести $\int \cos\ln x \;dx$ в ліву частину, то жодної константи не виникне, а буде ось що:
$$ 2\int\cos\ln x\;dx=x\cdot \cos\ln x+x\cdot\sin\ln x. $$
Тут взагалі нема константи! Як вона виникла у викладеному вище рішенні?
Для того, щоб розібратися з "контантою, що раптово виникла", потрібно згадати, що таке невизначений інтеграл. Нагадаю, що невизначений інтеграл – це багато першорядних функцій. І рівність, в обох частинах якої розташовані невизначені інтеграли, є рівності між множинами. Рівності в обох частинахякого знаходяться невизначені інтеграли, треба розуміти в тому сенсі, що різниця між лівою та правою частинами цієї рівності є якась константа. Наприклад, рівність $\int 2xdx=2\int xdx$ означає, що $\int 2xdx-2\int xdx=C$. Те саме стосується і рівності
$$ \int\cos\ln x\;dx=x\cdot \cos\ln x+x\cdot\sin\ln x-\int \cos\ln x \;dx, $$
отриманого під час рішення прикладу №7. Тільки в цьому випадку інтегральну константу було зручно уявити у формі $2C$.
Знайти $\int e^ \cos 3x \;dx$.
Це класичний приклад інтеграла, котрого застосування формули (1) дає рівняння з вихідним інтегралом обох частинах. Я радив би вирішити його самостійно, лише зрідка звіряючись з ходом рішення, викладеним нижче.
Отже, ми здобули рівняння з шуканим інтегралом:
Переносячи $\frac\int e^\cos 3x \;dx$ з правої частини в ліву, матимемо:
Ділячи обидві частини останньої рівності на $\frac$, отримаємо:
$$ \int e^\cos 3x \;dx=\frac\sin 3x>+\frac\cos 3x>+ C= \frac>\cdot\left( 3\sin 3x+2\cos 3x \right)+ C. $$
Відповідь: $\int e^\cos 3x \;dx=\frac>\cdot\left(3\sin 3x+2\cos 3x \right)+C$.
Ці інтеграли можна обчислювати у різний спосіб. Один із них – частинами.
З рівняння з цим інтегралом маємо:
Другий інтеграл цього завдання, тобто. $\int\frac>$, обчислюється за допомогою попереднього: