Інтерполяція
Емпіричні дані, зазвичай, задаються числовими рядами значень двох величин: незалежної (x k ). і залежною (y k ), вони є вихідними даними завдання.
Найпростішими способами обробки таблиць є лінійна та
квадратична інтерполяція, яка виконується за рівняннями: f(x) лін = а 0 + а 1 х. f(x) кв = 0 + а 1 х + а 2 х 2 .
Під час інтерполяції обчислення додаткових точок виконуються за лінійною залежністю. При невеликій кількості вузлових точок (менше 10) лінійна інтерполяція виявляється досить грубою. Перша похідна функції апроксимації зазнає різких стрибків у вузлових точках. Лінійна та квадратична апроксимація є окремим випадком поліноміальної інтерполяції за допомогою апроксимуючого полінома:
+ а 1 х + а 2 х 2 + … + a n x n = ∑ a i x i.
Для виконання поліноміальної інтерполяції достатньо за цим виразом скласти систему лінійних рівнянь для n вузлових точок і визначити значення значень коефіцієнтів a i .
Для практичного використання зручніші формули багаточлена Лагранжа:
(x - x 1) (x - x 2). (x - x n)
(x - x 0) (x - x 2). (x - x n)
(x 0 - x 1) (x 0 - x 2). (x 0 - x n)
(x 1 - x 0) (x 1 - x 2). (x 1 - x n)
(x - x 0) (x - x 1). (x - )
(x n - x 0) (x n - x 1). (x n -)
При інтерполяції Лагранжа, за всіма N точками завдання функції, ступінь полінома дорівнює
Інтерполяція сплайном
При сплайновій інтерполяції зазвичай використовуються локальні поліноми не вище третього ступеня. Так, наприклад, кубічні сплайни проходять через три суміжні вузлові точки (поточні опорні точки обчислень), при цьому в граничних точках збігаються значення полінома і функції, так і значення їх перших і другихпохідних. Коефіцієнти поліномів, що проходять через три суміжні вузлові точки, розраховуються так, щоб безперервними були перша та друга його похідні.
Малюнок 3 Сплайнова інтерполяція та інтерполяція Лагранжем.
Сплайнова апроксимація може застосовуватися для функцій, що досить швидко змінюються, не мають розривів функції і похідних. Основний недолік сплайн - відсутність єдиного аналітичного виразу для опису функції.
Метод найменших квадратів
Найбільш поширений спосіб апроксимації експериментальних даних - метод найменших квадратів. Припустимо, що предметом спостере-
день (вимірювань) в досліджуваній системі служить змінна у, значення якої змінюються в залежності від деякого аргументу х.
Завданням регресійного аналізу є добір математичних формул, які найкраще описують експериментальні дані. Математична постановка завдання регресії ось у чому. Залежність величини Y від іншого змінного Х зареєстрована на безлічі точок x k безліччю значень y k , при цьому в кожній точці зареєстровані значення y k і x k відображають дійсні значення Y(х k ) з випадковою похибкою k , розподіленої, як правило, за нормальним законом. За сукупністю значень y k потрібно підібрати таку функцію
f(x k , a0, a1, … , an), якою залежність Y(x) відображалася б з мінімальною похибкою. Звідси випливає умова наближення:
y k = f(x k , a0, a1, …, an) + k .
Апроксимуюча функція f може бути математичною функцією будь-якого типу, лінійною комбінацією різних функцій або функціональним рядом зі статечних, тригонометричних та будь-яких інших функцій. В основу її побудови бажано закладати апріорні(теоретичні) припущення про сутність явища, що вивчається. При повній відсутності апріорної інформації про розподіл випадкової складової даних на початковому етапі зазвичай використовується квадратичний захід наближення (дисперсія).
Функцію f(x k , a0, a1, … , an) називають регресією величини y величину х. Регресійний аналіз передбачає завдання виду функції f(x k , a0, a1, … , an) та визначення чисельних значень її параметрів a0, a1, … , an, що забезпечують найменшу похибку наближення до безлічі значень y k . Зазвичай, при регресійному аналізі похибка наближення обчислюється шляхом найменших квадратів (МНК). Для цього виконується мінімізація функції квадратів залишкових помилок:
?
Для визначення параметрів a 0 , a 1 , … , a n функція залишкових помилок диференціюється за всіма параметрами, отримані рівняння похідних приватних прирівнюються нулю і вирішуються в сукупності щодо всіх значень параметрів. Види регресії зазвичай називаються на кшталт апроксимуючих функцій: поліноміальна, експоненційна, логарифмічна і т.п.
Вимога мінімального розкиду буде задоволена, якщо мінімізувати вираз (y) 2 . Як відомо, необхідною умовою того, що функція набуває мінімального значення, є те, що її перша похідна (або похідні приватні для функції багатьох змінних) дорівнює нулю. Застосування методу найменших квадратів має сенс, якщо число експериментальних точок n більше від числа визначених коефіцієнтів.
Лінійна регресія
Розглянемо реалізацію методу найменших квадратів стосовно рівняння виду
Для знаходження коефіцієнтів а, b шуканої прямої необхідномінімізувати суму квадратів відстаней y i по ординаті від точки (х i ; y i ) до прямої. Відстань y i визначатиметься
y i = y i − ax i − b.
прирівнюємо до нуля похідні цієї суми за параметрами а, b:
;
Перетворимо цю систему
Отримаємо систему нормальних рівнянь методу найменших квадратів.
Вирішуючи її щодо а, b отримуємо:
;
Отримані значення коефіцієнтів використовуємо у рівнянні регресії y(t) = a+bt. За аналогічною методикою обчислюються коефіцієнти та будь-яких інших видів регресії, відрізняючись лише громіздкістю відповідних виразів.