Ізольована точка множини, Математика, FANDOM powered by Wikia

Ізольована точкав загальній топології - це така точка множини, що перетин деякої її околиці з безліччю складається з єдиної точки.

Зміст

Визначення

Нехай дано топологічний простір $ (X, \ mathcal) $ , і підмножина $ A \ subset X $ . Точка $ x \in A $ називається ізольованою точкою множини $ A $ , якщо існує околиця $ U \in \mathcal $ така, що $ U \cap A = \. $

Пов'язані визначення

• Простір, кожна точка якого є ізольованою, є дискретною.

Властивості

• Довільна функція $f:A\subset X\toY$, де $Y$ - безліч з власною топологією, завжди безперервна в ізольованій точці $x$.

Приклади

Нехай $X = \mathbb$ - безліч речових чисел із стандартною топологією.

• Якщо $ A = \ cup [1,2] $ , то точка $ x = 0 $ є ізольованою, проте інші немає.
• Якщо $ A = \cup \left\\right\>_^ \equiv \left\,\frac,\ldots\right\>, $ то $ x = 0 $ не є ізольованою точкою, а всі інші ними є .
• Безліч натуральних чисел $\mathbb$ дискретна.
• Безліч раціональних чисел немає ізольованих точок. Зокрема, воно не є дискретним, хоч і є рахунковим.

---