Як Пахом купував землю
Завдання Льва Толстого
Цей розділ, незвичайна назва якої стане зрозумілою читачеві з подальшого, почнемо уривком із загальновідомої розповіді Л.H. Толстого «Чи багато людині землі потрібно».
«– А ціна яка буде? – каже Пахом. - Ціна у нас одна: 1000 руб. за день.
– Який же це захід – день? Скільки у ній десятин буде?
– Ми цього, – каже, – не вміємо рахувати. А ми за день продаємо; скільки обійдеш на день, те й твоє, а ціна 1000 руб.
– Та це, – каже, – у день обійти землі багато буде.
- Уся твоя, - каже. — Тільки одну вмовляння, якщо назад не прийдеш на день до того місця, з якого візьмешся, пропали твої гроші.
– А як же, – каже Пахом, – відзначити, де я пройду?
– А ми станемо на місце, де ти облюбуєш; ми стоятимемо, а ти йди, роби коло, а з собою скребку візьми і, де треба, помічай, на кутах ямки рій, дерничка клади; потім із ямки на ямку плугом пройдемо. Який хочеш забирай коло, тільки до заходу сонця приходь до того місця, з якого взявся. Що обійдеш, все твоє.
Розійшлися башкирці. Обіцялися завтра на зорі зібратися, до сонця на місце виїхати.
Приїхали у степ, зоря займається. Підійшов старшина до Пахома, показав рукою. – Ось, – каже, – все наше, що окинеш. Вибирай любу.
Зняв старшина шапку лисячу, поставив на землю.
– Ось, – каже, – мітка буде. Звідси йди, сюди приходь. Що минеш, все твоє буде.
Тільки бризнуло з-за краю сонце, скинув Пахом скребку на плече і пішов у степ.
Відійшов із версту, зупинився, вирив ямку. Пішов далі. Відійшов ще, вирив ще іншу ямку.
Верст 5 пройшов. Поглянув на сонечко, – уже час про сніданок. «Одна упряжка пройшла, – думає Пахом. – А їх чотири за день,рано ще загортати. Дай пройду ще верст п'ят, тоді вліво загинати почну». Пішов ще навпростець.
«Ну, – думає, – у цей бік досить забрав; треба загинати». Зупинився, вирив ямку більше і загнув круто вліво.
Пройшов ще й з цього боку багато; загнув другий кут. Озирнувся Пахом на шихан (горбок): від тепла затуманився, а крізь мару трохи видніються люди на шихані. "Ну, - думає, - довгі сторони взяв, треба цю коротше взяти". Пішов третій бік. Подивився на сонце, – воно вже до полудня підходить, а по третій стороні всього версти дві пройшов. І до місця все ті ж верст 15. «Ні, – думає, – хоч крива дача буде, а треба прямо встигати».
Вирив Пахом швидше ямку і повернув прямісінько до шихану.
Іде Пахом прямо на шихан, і важко йому стало. Відпочити хочеться, а не можна, – не встигнеш дійти до заходу сонця. А сонце вже недалеко від краю.
Іде так Пахом; важко йому, а все додає та додає кроці. Ішов, ішов - все ще далеко; побіг риссю ... Біжить Пахом, сорочка і портки від поту до тіла липнуть, у роті пересохло. У грудях як хутра ковальські роздмухуються, а серце молотком б'є.
Біжить Пахом з останніх сил, а сонце вже до краю підходить. Ось-ось закочуватися стане.
Сонце близько, та й місце зовсім недалеко. Бачить шапку лисью на землі і старшину, як він сидить на землі.
Глянув Пахом на сонце, а воно до землі дійшло, вже краєм заходити стало. Наддав із останніх сил Пахом, надувся, збіг на шихан. Бачить – шапка. Підкосилися ноги, і він упав наперед руками, до шапки дістав.
- Ай, молодець! - Закричав старшина, - багато землі заволодів.
Підбіг працівник, хотів підняти його, а в нього з рота кров тече, і він мертвий лежить...»
Відвернемося від похмурої розв'язки цієї історії і зупинимосяна її геометричній стороні. Чи можна встановити за даними, розсіяними в цій розповіді, скільки приблизно десятин землі обійшов Пахом? Завдання – здавалося б нездійсненна – вирішується, проте, досить просто.
РІШЕННЯ Уважно перечитуючи розповідь і витягуючи з нього всі геометричні вказівки, неважко переконатися, що отриманих даних цілком достатньо для вичерпної відповіді на поставлене запитання. Можна навіть накреслити план обійденої Пахомом земельної ділянки.
Насамперед з оповідання ясно, що Пахом біг на всі боки чотирикутника. Про перший бік його читаємо:
«Верст п'ять пройшов… Пройду ще верст п'ят; тоді вліво загинати ... ».
Отже, перша сторона чотирикутника мала завдовжки близько 10 верст.
Про другий бік, що становить прямий кут з першої, чисельних вказівок у розповіді не повідомляється.
Довжина третьої сторони - очевидно, перпендикулярної до другої, - зазначена в оповіданні прямо:«По третій стороні всього версти дві пройшов».
Безпосередньо дана і довжина четвертої сторони: «До місця все ті ж верст 15» [57].
За цими даними ми можемо накреслити план обійденого Пахомом ділянки (рис. 22). В отриманому чотирикутникуABCDсторонаАВ= 10 верст,CD= 2 верст,AD= 15 верст; кутиВі С - прямі. Довжину невідомої сторониВСневажко обчислити, якщо провести зDперпендикулярDEдоАВ(рис. 23). Тоді у прямокутному трикутникуAEDнам відомі катетАЕ= 8 верст і гіпотенузаAD=15 верст.
Невідомий катет
Отже, друга сторона мала завдовжки близько 13 верст. Очевидно, Пахом помилився, вважаючи другий бік коротшим за перший.
Як бачите, можна досить точно накреслитиплан тієї ділянки, яка обіжала Пахом. Безперечно, Л.H. Толстой мав перед очима креслення на кшталт рис. 22, коли писав свою розповідь.
Мал. 22. Маршрут Пахома
Мал. 23. Уточнення маршруту
Тепер легко обчислити і площу трапеціїABCD,що складається з прямокутникаEBCDі прямокутного трикутникаАED. Вона дорівнює
Обчислення за формулою трапеції дало б, звичайно, той самий результат:
Ми дізналися, що Пахом оббіг обширну ділянку площею 78 кв. верст, чи близько 8000 десятин. Десятина коштувала б йому 12 1/2 копійок.