Як репетитор з математики знаходить значення тригонометричних функцій
Ох, скільки мук завдає учням вивчення тригонометрії. Певні складнощі виникають навіть у тому випадку, якщо поряд сидитьрепетитор з математики і розжовує кожну дрібницю. Це і зрозуміло, лише базових формул існує більше двадцяти. А вже якщо рахувати їх похідні… Нещодавно один репетитор-початківець з математики надіслав листа, в якому попросив розповісти про методику практичної роботи з формулами приведення. Його учень плутається в обчислення і ніяк не може запам'ятати механізми, за допомогою яких ці формули дозволяють знайти, наприклад, . З величезним задоволенням задовольняю його прохання.
Отже, вважатимемо, що репетитор з математики визначив із учнем, що таке синус і косинус, пояснив радіани, властивості парності та непарності тригонометричних функцій, повторив або вивчив заново техніку перетворень за формулами приведення. Який матеріал потрібно розібрати після цих обов'язкових етапів? Безумовно, потрібно навчити обчислювати синуси та косинуси для кутів, розташованих поза першою чвертю. Впевнений, що досвідчений репетитор з математики не відкриє в алгоритмі нічого нового з точки зору математики, але якісь корективи, можливо, внесе в галузі методики.
Довгий час я ставився до викладеного нижче прийому як до єдиного в цій темі, доки не зіткнувся з різними помилками у підходах інших репетиторів з математики та шкільних викладачів (через шкільні тетераді своїх учнів). Виявляється, деякі викладачі, наприклад, переводять кути в градуси і обчислюють через них.
Я волію відразу почати з варіанта, в якому доведеться виконати всі елементи загального алгоритму. Чому? Основна робота репетитора з математики повинна бути спрямована на запам'ятовування прийому, бо смислова робота залишилася впройдених темах, коли вивчалися визначення тригонометричних функцій, формули приведення та дії з кутами.
Саме з цієї причини репетитор з математики варто почати з прикладу, в якому під знаком синуса стоїть негативний кут.
1) Учень видаляє знак мінус за якістю парності/непарності. Це обов'язкова та першочергова операція. Якщо проводити подальші перетворення разом із знаком, то репетитор з математики втратить у подальших етапах свого алгоритму можливість дати чіткі та зручні описи дій із радіанами. Винесення (видалення) знака учнями проводиться, як правило, без будь-яких проблем, якщо пам'ятати відповідні властивості. Якщо репетитор з математики зверне увагу на те, що косинус – єдина з досліджуваних парна функція, то проблем не буде взагалі.
2) Видалення "повних оборотів". Репетитор показує, як можна замінити позитивний кут тим, що знаходиться в проміжку від 0 до . Для цього із дробу виділяється ціла частина. При цьому буква розташовується у вигляді множника поруч із правильним дробом, тобто виходить . Оскільки при відніманні з цього кута повного обороту, тобто кута , ми віднімаємо 2 з коефіцієнта 5, то репетитору з математики не важко донести до дитини логіку багаторазового віднімання «повного обороту», тобто віднімання з 5найближчого парного до нього числа. Я спеціально вибираю для демонстрації алгоритму кут, в якому залишається ціла частина, що дорівнює одиниці. Чому? Якщо репетитор з математики почне з нуля цілих, з поля зору учня вислизне важливий етап алгоритму: переведення в неправильний дріб отриманого коефіцієнта для порівняння з оновленими кутами. Слабкий учень навряд чи здогадається до цього самостійно. В результаті все одно доведеться розбиративаріант з одиницею і витрачати зайвий час. Найкраще використовувати його для самостійної роботи учня.
3) Переведення дробу в неправильне: . Важливо видалити цілу частину, щоб вона не заважала подальших порівняннях.
4) Визначення чверті, де лежить кут. Для цього потрібно порівняти його з основними кутами, наводячи їх до спільного знаменника. Як репетитор з математики полегшує роботу учня? Кутів то 4 штуки: . Якщо вивчається кут зі знаменником 3, то з урахуванням необхідності порівнювати його з доведеться міняти обидва знаменники на 6. Це не зовсім зручно. Яке рішення пропонує репетитор з математики для порівняння? Треба виключити з процесу дрібні основні кути. Чому? Для визначення чверті репетитору вистачить . Їх зручніше підлаштувати під будь-який знаменник кута, що вивчається із завдання. У прикладі отримуємо і . Зрозуміло, що знаходиться ближче до . Тож питання про чверть знімається. З гордістю зазначу, що за всю історію ще жоден учень не схибив з відповіддю на запитання про чверть після такої підготовки. Якщо репетитор з математики відмовиться від перетворення коефіцієнта перед в неправильний дріб, то визначити чверть буде складніше.
Репетитор з математики зобов'язує ілюструвати рішення.
Я наполегливо рекомендую відзначати отриманий кут на тригонометричному колі після того, як визначилась його чверть.
7) Решта - справа техніки. Учень видаляє за формулою приведення і звертається до таблиці значень синуса для гострого кута.
Висновок : На жаль, дидактика всіх без винятку шкільних підручників з обчислювальної частини з радіанами сильно кульгає. Все, що може знайти репетитор, — один чи два номери, що поєднують завдання на градуси та радіани. Але шукати, наприклад, набагато простіше, ніж виконати еквівалентний підрахунок у радіанах. Я не раджу репетиторам з математики переводити кути в градуси, бо всі основні операції в тригонометрії виконуються в радіанах і у зв'язку з цим практика описаної вище роботи учня буде для нього гарною підготовкою до майбутніх завдань.
На жаль, репетитор з математики не має права вибирати підручник. Це робить для нього школа. Шкода, тому що послідовність аналізу тем по тригонометрі в деяких з них м'яко скажемо не ідеальна. До вивчення формул приведення розглядаються тригонометричні рівняння. І не лише рівняння. Діти ще до ладу не усвідомили як вважається синус і косинус, а їм уже формули подвійного кута нав'язують.
Олександр Миколайович, репетитор з математики та тригонометрії. Москва.
Я теж проти того, щоб переводити радіани в градуси — треба вчитися рахувати і так, і так. Але в мене деякі учні набагато швидше переводять із радіан у градуси і назад і швидше проводять різні математичні операції із градусами, ніж із радіанами. Це стосується лише формул приведення, тому що деяким з ходу важко збагнути через якийсь основний кут дробовий радіан легше висловити. Меніздається, якщо учня швидше виходить через градуси, то репетитору з математики нема чого йому нав'язувати інше. Тим більше, що в іспиту час не є гумовим.